OMCC 2018 - P4

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Gianni De Rico

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OMCC 2018 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 1:17 am

Determine todas las ternas $(p,q,r)$ de enteros positivos, donde $p$ y $q$ son números primos, tales que$$\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2$$
[math]

Matías

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Re: OMCC 2018 - P4

Mensaje sin leer por Matías » Mié 18 Jul, 2018 2:10 pm

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Si $q$ es impar, nos queda que:
-Si $r$ es impar, entonces $r^2\equiv 1(8)$ y $5q^2\equiv 5(8)$, entonces $r^2-5q^2\equiv 4(8)$,
por lo tanto $r^2-5q^2$ es múltiplo de $4$ pero no de 8.
Pero como $r^2-5q^2=2(p^2-1)$, si $p$ es par $2(p^2-1)$ no es múltiplo de $4$ (ya que $p^2-1$ es impar), y si $p$ es impar $2(p^2-1)$ es múltiplo de $8$ (ya que $p^2\equiv 1(4)$), absurdo.
-Si $r$ es par, entonces $r^2-5q^2$ es impar, pero $r^2-5q^2=2(p^2-1)$ es par, absurdo.
Por lo tanto obtenemos que $q$ es par, y como $q$ es primo, $q=2$.

Entonces nos queda que $r^2-20=2p^2-2\implies r^2=2(p^2+9)$.
Tenemos que $r^2\equiv 0(3)$ si $r$ es múltiplo de $3$, y si no $r^2\equiv 1(3)$. Pero tenemos que $p^2\equiv 0\vee 1(3)\implies 2(9+p^2)\equiv 0\vee 2(3)$, por lo tanto tenemos que $r^2\equiv p^2\equiv 0(3)$, y como $p$ es primo nos queda que $p=3$, y así $r^2=36\implies r=6$.

Por lo tanto concluimos que la única terna $(p,q,r)$ que cumple es $(3,2,6)$.

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