IMO 2003 - P2

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 18 Jul, 2018 3:28 pm

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ es un entero positivo.
[math]

juandodyk
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Re: IMO 2003 - P2

Mensaje sin leer por juandodyk » Mié 25 Jul, 2018 5:58 am

Solución de mierda, pero solución al fin.
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Para $b=1$ tenemos las soluciones $(2k, 1)$ para todo entero positivo $k$. Asumimos a partir de ahora que $b\geqq2$.

Sea $u=2ab^2-b^3+1$, con $u\geqq 1$ por hipótesis. Tenemos claramente $b^2\mid u-1$. Ahora la condición es que $u\mid a^2=(\frac{u+b^3-1}{2b^2})^2$, es decir, $4b^4u\mid (u+b^3-1)^2$, que implica $u\mid (b^3-1)^2$.

Que $b^2\mid u-1$ nos dice que $u=b^2r+1$, con $r\geqq 0$. Como $u\mid (b^3-1)^2$, $u=\frac{(b^3-1)^2}{q}$ con $q\geqq 1$ entero. Luego $b^2\mid u-1 = \frac{(b^3-1)^2}{q}-1 = \frac{(b^3-1)^2-q}{q}$, que implica $b^2\mid (b^3-1)^2-q$ y $b^2\mid q-1$, por lo que $q=b^2s+1$, con $s\geqq 0$.

Si $r=0$ tenemos $u=1$, que es $2ab^2-b^3+1=1$, $2ab^2=b^3$, $2a=b$, que da las soluciones $(k,2k)$ para todo entero positivo $k$ (en efecto, $\frac{k^2}{2k(2k)^2-(2k)^3+1}=k^2$). Si $s=0$ tenemos $q=1$, $u=(b^3-1)^2$, que es $2ab^2-b^3+1=(b^3-1)^2$, $2ab^2=(b^3-1)b^3$, $2a=(b^3-1)b$, lo que da $$\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=\frac{(\frac12(b^3-1)b)^2}{(b^3-1)^2} = \left(\frac b2\right)^2,$$ que es entero si y sólo si $2\mid b$. Esto da las soluciones $((8k^2-1)k, 2k)$ para todo entero positivo $k$.

Resta considerar el caso $r,s\geqq 1$. Teníamos $uq=(b^3-1)^2$, lo que, reemplazando, da $(b^2r+1)(b^2s+1)=(b^3-1)^2$. Expandiendo tenemos $b^4rs + b^2(r+s)+1=b^6-2b^3+1$, luego $b^2rs + r+s=b^4-2b$, y $b\mid r+s$. Dividiendo por $b$ tenemos $brs+\frac{r+s}b=b^3-2$ y $\frac{r+s}b+2=b(b^2-rs)$. Si $t=b^2-rs$, $t$ es un entero, $t\geqq 1$ y $r+s=b(bt-2)$.

Si $t=1$ tenemos $r+s=b(b-2)$ y $rs=b^2-1$. Tenemos que $(r-1)(s-1)=rs-r-s+1=2b>0$, por lo que $r,s\geqq2$ y $(r-2)(s-2)\geqq0$, lo que da $-b^2+4b+3\geqq0$, que es $b(4-b)\geqq-3$, que si $b\geqq 5$ no se cumple. Luego $2\leqq b\leqq4$. Ahora $(r-s)^2=(r+s)^2-4rs=b^4-4b^3+4$. Probamos $b=2,3,4$ y sólo $b=4$ cumple que $b^4-4b^3+4$ es cuadrado perfecto. Arroja $(r,s)=(5,3)$ y $(3,5)$, que dan $u=81$, $a=4.5$ (no entero), y $u=49$, $a=3.5$ (tampoco entero). Por lo tanto no hay soluciones en este caso.

Resta considerar $t\geqq 2$. Teníamos $r+s=b(bt-2)\geqq b(2b-2)=2b(b-1)$. Como $r,s\geqq 1$, tenemos $(r-1)(s-1)\geqq0$ por lo que $rs\geqq r+s-1=b(bt-2)-1 \geqq b(2b-2)-1=2b^2-2b-1$. Teníamos (ver dos párrafos atrás) $brs+\frac{r+s}b=b^3-2$, que da $b^3-2 \geqq 2b^3-2b^2+b-2$, es decir, $b^3-2b^2+b\leqq 0$, o sea $b(b-1)^2\leqq 0$, imposible porque estamos asumiendo $b\geqq 2$.

Listo. Las soluciones son, pues, $(2k,1)$, $(k,2k)$ y $((8k^2-1)k, 2k)$ con $k$ entero positivo.

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