Cono Sur 2006 P5

Matías

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Cono Sur 2006 P5

Mensaje sin leer por Matías » Mié 25 Jul, 2018 6:55 pm

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $\lfloor\sqrt{n}\rfloor-2$ divide a $n-4$ y $\lfloor\sqrt{n}\rfloor+2$ divide a $n+4$.

($\lfloor r\rfloor$ denota la parte entera de $r$, es decir, el mayor entero que es menor o igual que $r$. Por ejemplo: $\lfloor 2,5\rfloor=2$; $\lfloor\sqrt{3}\rfloor=1$; $\lfloor 5\rfloor=5$.)

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Turko Arias

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Re: Cono Sur 2006 P5

Mensaje sin leer por Turko Arias » Jue 26 Jul, 2018 1:35 am

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Sea $n=k^2+m$ con $0\leq m < 2k+1$ y $k$ entero positivo, reescribimos las condiciones del enunciado como $k-2|k^2+m-4$ $(1)$ y $k+2|k^2+m+4$ $(2)$.
Tenemos entonces $k-2|k^2+m-4 \Rightarrow k-2|k^2+m-4-k(k-2)=m+2k-4$, del mismo modo llegamos a que $k+2|m-2k+4$, por como definimos $m$ tenemos que $-2(k+2)<m-2k+4<5$, luego $m-2k+4$ puede ser $-(k+2), 0, 3, 4$ (ya que los múltiplos positivos de $k+2$ claramente son mayores que $2$.
  • m-2k+4=-k-2: despejamos y nos queda $m=k-6$, reemplazando en $(1)$ nos queda $k-2|k^2+k-10-k(k-2)-3(k-2)=-4$. Recordemos que $m$ es no negativo, luego $6 \leq k$, con lo que nos queda $k-2=4$ y por ende $k=6$ y $m=0$, dejandonos $n=36$ que cumple el enunciado.
  • m-2k+4=0: despejamos y nos queda $m=2k-4$, reemplazando en $(1)$ nos queda $k-2|k^2+2k-8=(k+4)(k-2)$ que vale para todo $k$ entero positivo, luego si $n=k^2+2k-4$, con $k$ mayor que $2$, se cumple el enunciado (si $k$ es uno $n$ resulta negativo, si $k=2$ el enunciado no tiene sentido porque dividiríamos por cero).
  • m-2k+4=3: despejamos y queda $m=2k-1$, y reemplazando en $(1)$ queda $k-2|k^2+2k-5-k(k-2)-4(k-2)=3$, con lo que $k-2$ puede ser $1, -1, 3, -3$. Si fuera $-2$, queda $k=0$ contradiciendo como definimos $k$. Si fuera $-1$, queda $k=1$, $m=1$ y $n=2$ que cumple el enunciado. Si fuera $1$, queda $k=3$, $m=5$ y $n=14$ que no cumple el enunciado. Por último, si fuera $2$, queda $k=4$, $m=7$ y $n=23$ que no cumple el enunciado.
  • m-2k+4=4: nos queda $m=2k$ y $k-2|4$, con lo que $k-2$ puede ser $1, -1, 2, -2, 4, -4$. Si fuera $-4$, queda $k=-2$ contradiciendo como definimos $k$, lo mismo sucede si fuera $-2$. Si fuera $-1$ queda $k=1$, $m=2$ y $n=3$ que no cumple el enunciado. Si fuera $1$ queda $k=3$, $m=6$ y $n=15$ que no cumple el enunciado. Si fuera $2$ queda $k=4$, $m=8$ y $n=24$ que no cumple el enunciado. Por último de los últimos, si fuera $4$, queda $k=6$, $m=12$ y $n=48$ que no cumple el enunciado.
Ya no hay más casos por analizar, luegos los $n$ que cumplen lo pedido son $n=2$, $n=36$, y $n=k^2+2k-4$ con $k$ entero positivo mayor que $2$. $\blacksquare$

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