Ibero 2004 - P3

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Gianni De Rico

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Ibero 2004 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:28 pm

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son ambos pares. Demostrar que existen enteros positivos $a$ y $b$ coprimos con $n$ tales que $k=a+b$.
[math]

juandodyk
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Re: Ibero 2004 - P3

Mensaje sin leer por juandodyk » Mié 08 Ago, 2018 11:56 am

El enunciado correcto no pide que $a$ y $b$ sean positivos. Si $a$ y $b$ tienen que ser positivos es falso, por ejemplo con $k=1$ y $n$ impar.
Spoiler: mostrar
Si $n_1$ y $n_2$ son dos enteros positivos coprimos tales que si uno de ellos es par entonces $k$ también, y existen $a_1,b_1,a_2,b_2$ enteros tales que $a_1$ y $b_1$ son coprimos con $n_1$ y $a_2$, $b_2$ son coprimos con $n_2$, y $k=a_1+b_1=a_2+b_2$ entonces existen enteros $a,b$ coprimos con $n=n_1n_2$ tales que $k=a+b$. En efecto, por el teorema chino del resto existe un entero $a$ tal que $a=n_1q_1+a_1$ y $a=n_2q_2+a_2$, con $q_1,q_2$ enteros. Sea $b=k-a$. Entonces $(b:n_1)=(k-n_1q_1-a_1:n_1)=(k-a_1:n_1)=(b_1:n_1)=1$, y similarmente $(b:n_2)=1$. Entonces $(b:n)=(b:n_1)(b:n_2)=1$, como queríamos.
Aclaración: llamo $(a:b)$ al máximo común divisor de $a$ y $b$.

Entonces basta con resolver el problema para $n=p^\alpha$, con $p$ primo y $\alpha\geqq1$ entero, con $k$ par si $p=2$. Si $p=2$ tomamos $a=1$ y $b=k-1$. Como $k$ es par, $b$ es impar, luego $(a:2^\alpha)=(b:2^\alpha)=1$. Si $p\geqq 3$ tomamos $a=k-1$ y $b=1$ si $p\nmid k-1$, y $a=k+1$, $b=-1$ si no. Claramente en ambos casos $(a:p)=(b:p)=1$, luego $(a:p^\alpha)=(b:p^\alpha)=1$, listo.
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Gianni De Rico

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Re: Ibero 2004 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 08 Ago, 2018 1:21 pm

Perdón, no conocía esa página y tuve que traducir los enunciados que encontré (traducidos previamente al inglés).
[math]

juandodyk
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Re: Ibero 2004 - P3

Mensaje sin leer por juandodyk » Mié 08 Ago, 2018 2:25 pm

Todo bien, ¡gracias por subir tantos enunciados!

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