Alguien me dice cómo se puede resolver esto?

[ignacioc]

En una laguna hay $100$ piedras ubicadas en forma circular, numeradas del $1$ al $100$.
Una rana se encuentra en la piedra número $1$ y salta cada vez $4$ piedras en el sentido que aumentan
los números. Por ejemplo, luego del primer salto, cae en la piedra número $5$ y luego del segundo
salto cae en la piedra $9$.
Un sapo se encuentra en la piedra número $2$ y salta cada vez $7$ piedras en el sentido que disminuyen
los números. Por ejemplo, luego del primer salto, cae en la piedra número $95$ y luego del segundo
salto cae en la piedra $88$.
Van saltando los dos siempre al mismo tiempo. ¿Luego de cuántos saltos caen la rana y el sapo en la
misma piedra por primera vez?

[Gianni De Rico]

Te dejo algunas pistas y la solución (tratá de ver si lo podés resolver sin usar muchas pistas, y solamente como último recurso mirá la solución)

Pista 1:

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Pensá que el $2$ en realidad lo podés ver como un $102$.

Pista 2:

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Fijate cómo caracterizás el movimiento de la rana y el sapo, esto es, si la rana estuviera en la piedra $n$ de una fila de piedras ¿Cuál es la próxima piedra a la que va a ir? ¿Y la siguiente a esa?

Pista 3:

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Teniendo en cuenta cómo caracterizaste los movimientos ¿Cómo podés escribir en forma de ecuación que la rana y el sapo estén en la misma piedra después de la misma cantidad de saltos?

Pista 4:

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Si planteaste bien la ecuación, vas a llegar a algo que no es entero. Eso pasa porque pensamos que se encontraban en la primera vuelta ¿Y si se encuentran en la segunda (o sea que el sapo arranca desde $202$)? ¿O en la tercera (el sapo arranca en $302$)?
Planteando las ecuaciones reemplazando $102$ por $202;302;\ldots$ vas a llegar (no son muchas igual).

Solución:

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Vamos a usar congruencias, esto nos sirve para sacarnos de encima las cuentas con el $202;302;\ldots$
Tenemos que la rana recorre todas las posiciones congruentes a $4k+1\pmod {100}$ y el sapo recorre todas las posiciones congruentes a $2-7k\pmod {100}$. Entonces si están en el mismo número, en particular los dos van a ser congruentes módulo $100$, esto es $4k+1\equiv 2-7k(100)\Rightarrow 11k\equiv 1(100)$ (notar que como hacen la misma cantidad de saltos, $k$ es el mismo para los dos). Entonces queremos buscar un número $k$ entre $0$ y $99$ tal que $11k$ termine en $01$, bueno, resulta que este número es $91$, y es el único que cumple en ese intervalo. Eso quiere decir que $k$ tiene que ser un número que termine en $91$, por lo tanto lo más razonable es fijarse primero si el $91$ funciona, y lo hace (la rana arranca en $1$, y después de $91$ saltos está en $1+4\cdot 91=365$, es decir, en la piedra $65$; ahora, $65+7\cdot 91=702$, que es lo mismo que el número $2$, sólo que varias vueltas después).