Entrenamiento Cono 2018 P30

[Joacoini]

Sea $n>1$ un entero positivo. Definimos como $\varphi (n)$ la cantidad de enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$, $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$, $\sigma (n)$ como la suma de los divisores positivos de $n$. Encontrar todos los valores posibles de $n$ tal que$$\varphi (n)\cdot \tau (n)=\sigma (n)$$

[Fedex]

Una idea más que nada

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$n = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{e_i}$
$\varphi(n) = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{e_i-1}(p_i-1)$
$\sigma(n) = \prod\limits_{i=1}^{k} \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i - 1}$
$1=\tau(n) \prod\limits_{i=1}^{k} \frac{p_i^{e_i-1}(p_i-1)^2}{p_i^{e_i+1}-1} > \tau(n) \prod\limits_{i=1}^{k} \frac{p_i^{e_i-1}(p_i-1)^2}{p_i^{e_i+1}} = \tau(n) \prod\limits_{i=1}^{k}\left (1-\frac{1}{p_i}\right)^2 \geq \tau(n) \prod\limits_{i=1}^{k}\left (1-\frac{1}{i+1}\right)^2 = \tau(n){\left [\frac{1}{2}\frac{2}{3}\ldots\frac{k}{k+1}\right ]}^2 = \tau(n)\left (\frac{1}{k+1}\right )^2$
$(k+1)^2 > \tau(n) \geq 2^k$
$(k+1)^2 > 2^k$
Cierto únicamente para $k \leq 5$ se puede ver haciendo inducción en $k$
Ahora $p_5 > p_4 > p_3 > p_2 > p_1$

Si $k=1$
$1 > (e_1+1)\left(1-\frac{1}{p_1}\right)^2$
$p_1^2 > (e_1+1)(p_1-1)^2 \geq 2(p_1-1)^2 = 2p_1^2 - 4p_1 + 2$
$0 > p_1^2 - 4p_1 + 2$
$p_1 = 2, 3$
Si $p_1 = 2$
$4 > e_1+1$
$e_1 = 1, 2$
$n = 2, 4$
Si $p_1 = 3$
$\frac{9}{4} = 2,25 > e_1+1$
$1,25 > e_1$
$e_1 = 1$
$n = 3$

Si $k=2$
$1 > (e_1+1)(e_2 + 1)\left(1-\frac{1}{p_1}\right)^2\left(1-\frac{1}{p_2}\right)^2 > 4\left(1-\frac{1}{p_1}\right)^4$
$ \frac{1}{1-(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}} > p_1$
$p_1 = 2,3$
Si $p_1 = 2$
$4 > (e_1+1)(e_2 + 1)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)^2 \geq (e_1+1)(e_2 + 1)\frac{4}{9}$
$9 > (e_1+1)(e_2 + 1)$
Acá sacamos los posibles valores de $e_1$, $e_2$, $p_2$ y $n$
Si $p_1 = 3$
$\frac{9}{4} > (e_1+1)(e_2 + 1)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)^2 \geq (e_1+1)(e_2 + 1)\frac{16}{25}$
$\frac{225}{64} > (e_1+1)(e_2 + 1)$ ABS!

$k = 3; 4; 5$ es la misma idea pero termino mañana si lo hago jajaja perdón.