Determinar el menor entero positivo $n$ tal que para toda coloración de los elementos del conjunto $\{2, 3,...,n\}$ con dos colores, la ecuación $x+y=z$ tiene una solución monocromática con $x\neq y$. (Decimos que la ecuación $x+y=z$ es monocromática si existen $a$, $b$, $c$ distintos, del mismo color, tales que $a+b=c$.)
Sean $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ los colores.
Consideremos la función $f:\{2,3,\ldots,12\}\rightarrow\{\epsilon_1,\epsilon_2\}$ tal que
$f(2)=f(3)=f(4)=f(11)=f(12)=\epsilon_1$
$f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=\epsilon_2$
Para esta coloración de los elementos de $\{2,3,\ldots,12\}$ no existe una solución monocromática de $x+y=z$ con $x\neq y$ (y si $n<12$ también podemos aplicar la función y no va a haber solución) por lo tanto debe ser $n\geq 13$.
Ahora vamos a demostrar que si $n=13$ para toda coloración de $\{2,3,\ldots,13\}$ existe una solución monocromática de $x+y=z$ con $x\neq y$. Supongamos que existe una coloración sin solución. Supongamos sin pérdida de generalidad que $f(2)=\epsilon_1$.
-si $f(3)=f(4)=\epsilon_1$
$f(5)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(2)=f(3)=f(5)$)
$f(6)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(2)=f(4)=f(6)$)
$f(7)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(3)=f(4)=f(7)$)
$f(11)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(5)=f(6)=f(11)$)
$f(13)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(6)=f(7)=f(13)$)
Pero entonces $f(2)=f(11)=f(13)$ (absurdo).
$f(5)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(2)=f(3)=f(5)$)
$f(9)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(4)=f(5)=f(9)$)
$f(6)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(3)=f(6)=f(9)$)
$f(11)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(5)=f(6)=f(11)$)
Pero entonces $f(2)=f(9)=f(11)$ (absurdo).
$f(6)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(2)=f(4)=f(6)$)
$f(9)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(3)=f(6)=f(9)$)
$f(5)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(4)=f(5)=f(9)$)
$f(11)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(5)=f(6)=f(11)$)
Pero entonces $f(2)=f(9)=f(11)$ (absurdo).
$f(7)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(3)=f(4)=f(7)$)
$f(5)=\epsilon_2$ (ya que sino $f(2)=f(5)=f(7)$)
$f(9)=\epsilon_1$ (ya que sino $f(4)=f(5)=f(9)$)
Pero entonces $f(2)=f(7)=f(9)$ (absurdo).
Por lo tanto concluimos que el menor número natural es $n=13$.