Problema 6 Cono Sur 2018

jujumas

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Problema 6 Cono Sur 2018

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 26 Ago, 2018 1:37 pm

Decimos que la sucesión $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ de enteros positivos es alagoana si para todo $n$ entero positivo se verifican simultáneamente las dos condiciones siguientes:
$\bullet a_{n!}=a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$
$\bullet a_n$ es la $n$-ésima potencia de un entero positivo.
Determinar todas las sucesiones que son alagoanas.
(Observar que $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Por ejemplo, $4!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Así, nuestra sucesión satisface, por ejemplo, $a_{24}=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4$.)

Matías

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Re: Problema 6 Cono Sur 2018

Mensaje sin leer por Matías » Vie 31 Ago, 2018 9:37 pm

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Para cada número natural $n\geq 4$, definamos la sucesión $(z^n_i)_{i\in N}$ de la siguiente manera:
$z^n_1=(n-1)!$ y $z^n_{i+1}=(z^n_i-1)!$ $\forall i\in N\wedge\forall(n\in N\wedge n\geq 4)$.

-Tenemos que $\forall(n\in N\wedge n\geq 4)$:

-$z^n_i\in N$ $\forall i\in N$:
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Para $i=1$ tenemos que $n\in N\implies n-1\in N_0\implies z^n_1=(n-1)!\in N$, y si $z^n_i\in N$ para cierto $i$, para $i+1$ tenemos que $z^n_i\in N\implies z^n_i-1\in N_0\implies z^n_{i+1}=(z^n_i-1)!\in N$.
-La sucesión $(z^n)$ es estrictamente creciente (es decir, $z^n_i<z^n_{i+1}$ $\forall i\in N$):
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Si $n\geq 4$ tenemos que $(n-1)(n-2)=n^2-3n+2=n(n-3)+2\geq n+2>n$, entonces tenemos que $z^n_1=(n-1)!=(n-3)!(n-2)(n-1)>n$ $\forall(n\in N\wedge n\geq 4)$ (ya que $n\geq 4\implies n-3\geq 1\implies(n-3)!\geq 1$). Así que si $z^n_i>n\geq 4$ para cierto $i$, para $i+1$ tenemos que $z^n_{i+1}=(z^n_i-1)!>z^n_i$.
-$a_n$ es la potencia $z^n_i$-ésima de un número natural, $\forall i\in N$:
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Tenemos que $a^n\mid b^n\implies a\mid b$ $\forall a, b, n\in N$:
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$a^n\mid b^n\implies\exists k\in N/a^nk=b^n$, pero tenemos que $k$ es una potencia $n$-ésima (ya que por cada divisor primo $p$ de $k$, hay una cantidad múltiplo de $n$ de factores $p$), entonces $k=c^n, c\in N\implies ac=b\implies a\mid b$.
Como $a_{n!}=b_n^{n!}$ y $a_{(n-1)!}=b_{n-1}^{(n-1)!}$, con $b_n, b_{n-1}\in N$; y $a_{n!}=\prod_{i=1}^{n} a_i=a_n\prod_{i=1}^{n-1} a_i=a_na_{(n-1)!}$, nos queda que
$a_n=\frac{a_{n!}}{a_{(n-1)!}}=\frac{b_n^{n!}}{b_{n-1}^{(n-1)!}}=(\frac{b_n^n}{b_{n-1}})^{(n-1)!}=(\frac{b_n^n}{b_{n-1}})^{z^n_1}$. Como ya vimos que $a_{(n-1)!}\mid a_{n!}\implies b_{n-1}\mid b_n^n$, obtenemos que $a_n$ es una potencia $z^n_1$-ésima.

Luego, si para cierto $i$, $a_n$ es una potencia $z^n_i$-ésima $\forall(n\in N\wedge n\geq 4)$, tenemos que $a_{n!}$ es una potencia $z^{n!}_i$-ésima y $a_{(n-1)!}$ es una potencia $z^{(n-1)!}_i$-ésima.

Ahora bien, tenemos que:
-$z^{(n-1)!}_i=z^n_{i+1}$ $\forall i\in N$
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Para $i=1$ tenemos que $z^{(n-1)!}_1=((n-1)!-1)!=(z^n_1-1)!=z^n_2$, y si se cumple para $i$ para $i+1$ tenemos que $z^{(n-1)!}_{i+1}=(z^{(n-1)!}_i-1)!=(z^n_{i+1}-1)!=z^n_{i+2}$.
-$z^{(n-1)!}_i\mid z^{n!}_i$ $\forall i\in N$
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Para $i=1$ tenemos que $z^{(n-1)!}_1=((n-1)!-1)!\mid(n!-1)!$ ya que $(n-1)!-1<n!-1$, y si se cumple para $i$ para $i+1$ tenemos que $z^{(n-1)!}_i\leq z^{n!}_i\implies(z^{(n-1)!}_i-1)!\mid(z^{n!}_i-1)!\implies z^{(n-1)!}_{i+1}\mid z^{n!}_{i+1}$.
Por lo tanto nos queda que, siendo $a_{n!}=c_n^{z^{n!}_i}$ y $a_{(n-1)!}=c_{n-1}^{z^{(n-1)!}_i}$, con $c_{n-1}, c_n\in N$:
$a_n=\frac{a_{n!}}{a_{(n-1)!}}=\frac{c_n^{z^{n!}_i}}{c_{n-1}^{z^{(n-1)!}_i}}=(\frac{c_n^{(\frac{z^{n!}_i}{z^{(n-1)!}_i})}}{c_{n-1}})^{z^{(n-1)!}_i}=(\frac{c_n^{(\frac{z^{n!}_i}{z^{(n-1)!}_i})}}{c_{n-1}})^{z^n_{i+1}}$
Como ya vimos que $a_{(n-1)!}\mid a_{n!}\implies c_{n-1}\mid c_n^{(\frac{z^{n!}_i}{z^{(n-1)!}_i})}$, obtenemos que $a_n$ es una potencia $z^n_{i+1}$-ésima y completamos el paso inductivo.
-$a_n=1$:
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Como $z^n_i\in N\wedge z^n_i<z^n_{i+1}$ $\forall i\in N$, podemos tomar cierto $i$ tal que $z^n_i>log_2a_n$ y nos queda que $2^{z^n_i}>a^n_i$, y como $a_n$ es la potencia $z^n_i$-ésima de un número natural obtenemos que $a_n=1^{z^n_i}=1$.
Por último, tenemos que $a_6=a_1a_2a_3=1\implies a_1=a_2=a_3=1$.

Por lo tanto concluimos que la única sucesión alagoana es $a_n=1$ $\forall n\in N$.
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