ONEM 2018 - Fase 1 - Nivel 2 - P20

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Emerson Soriano

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ONEM 2018 - Fase 1 - Nivel 2 - P20

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Franco escribió un número que consta de $10$ dígitos distintos. Luego, subrayó cada dígito que es igual a la suma de sus dos dígitos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). ¿Cuántos dígitos como máximo puede subrayar Franco?
bruno
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Registrado: Vie 17 Dic, 2010 12:50 am

Re: ONEM 2018 - Fase 1 - Nivel 2 - P20

Mensaje sin leer por bruno »

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Sean $ABC$ $3$ digitos consecutivos tal que $B$ es subrayado, luego $A$ y $C$ no pueden ser subrayados ya que $B=A+C$ es mayor que ambos y no es posible sumar un numero natural a $B$ para obtener $C$ o $A$. Ademas, el primer y ultimo digito no pueden ser subrayados al no tener dos vecinos. Luego si consideramos dos digitos consecutivos, tal que ninguno de los dos sean o el primero o el ultimo, entonces uno de ellos no puede estar subrayado, dando un maximo posible de $4$ digitos subyados siguiendo el patron : "no-si-no-si-no-si-no-si-no-no"

Ademas si el $0$ no es el ultimo digito, entonces no seria posible que uno de esos $4$ si este subrayado, por lo tanto el $0$ debe ser el ultimo digito. Por ejemplo, el numero $5946231870$ verifica tener $4$ digitos subrayados.
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