ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

Nando
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ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Nando » Mié 10 Oct, 2018 5:27 pm

Si el número $abcdef$ es múltiplo de 97 y
$$abcdef + 1 =(ab + 1)(cd + 1)(ef + 1),$$
calcule el valor de $a + b + c + d + e + f$.

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enigma1234

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Re: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mar 16 Oct, 2018 4:41 pm

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Sea $ab=x,cd=y,ef=z $ entonces $0\leq x,y,z\leq 99$ entonces de los datos:$97\mid 9x+3y+z $ y:$$100^2x+100y+z+1=(x+1)(y+1)(z+1)$$
$$\to 0=(100^2-(y+1)(z+1))x+y (99-z)\geq x (100^2-100.100)+y (99-99)=0 $$
Como se da la igualdad entonces $y=z=99$ entonces como $97\mid 9x+3y+z\to 97\mid 9x+3.99+99\to 97\mid x+44 \to x=53 $ pues $x $ esta entre 10 y 97. Entonces $abcdef=539999\to a+b+c+d+e+f=44$
One in a millon...my lucky strike! :D

Sandy
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Re: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Sandy » Vie 26 Oct, 2018 8:25 pm

enigma1234 escribió:
Mar 16 Oct, 2018 4:41 pm
Spoiler: mostrar
Sea $ab=x,cd=y,ef=z $ entonces $0\leq x,y,z\leq 99$ entonces de los datos:$97\mid 9x+3y+z $ y:$$100^2x+100y+z+1=(x+1)(y+1)(z+1)$$
$$\to 0=(100^2-(y+1)(z+1))x+y (99-z)\geq x (100^2-100.100)+y (99-99)=0 $$
Como se da la igualdad entonces $y=z=99$ entonces como $97\mid 9x+3y+z\to 97\mid 9x+3.99+99\to 97\mid x+44 \to x=53 $ pues $x $ esta entre 10 y 97. Entonces $abcdef=539999\to a+b+c+d+e+f=44$
No entendí cómo razonaste que $97\mid 9x+3y+z $

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Fran5

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Re: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 27 Oct, 2018 9:08 am

Del enunciado, tenes que $97 \mid abcdef = 10000ab+100cd+ef$, de modo que $ 10000ab +100cd+ef \equiv 0 \pmod{97}$.

Pero $100 \equiv 3 \pmod{97}$, con lo cual $10000 \equiv 100 \cdot 100 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \pmod{97}$.

Luego $10000ab +100cd+ef \equiv 9ab + 3cd + ef = 9x+3y+z \equiv 0 \pmod{97}$
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