ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P9

[Nando]

Si el número $abcdef$ es múltiplo de $97$ y$$abcdef+1=(ab+1)(cd+1)(ef+1)$$calcule el valor de $a+b+c+d+e+f$.

[enigma1234]

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Sea $ab=x,cd=y,ef=z $ entonces $0\leq x,y,z\leq 99$ entonces de los datos:$97\mid 9x+3y+z $ y:$$100^2x+100y+z+1=(x+1)(y+1)(z+1)$$
$$\to 0=(100^2-(y+1)(z+1))x+y (99-z)\geq x (100^2-100.100)+y (99-99)=0 $$
Como se da la igualdad entonces $y=z=99$ entonces como $97\mid 9x+3y+z\to 97\mid 9x+3.99+99\to 97\mid x+44 \to x=53 $ pues $x $ esta entre 10 y 97. Entonces $abcdef=539999\to a+b+c+d+e+f=44$

[Sandy]

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Sea $ab=x,cd=y,ef=z $ entonces $0\leq x,y,z\leq 99$ entonces de los datos:$97\mid 9x+3y+z $ y:$$100^2x+100y+z+1=(x+1)(y+1)(z+1)$$
$$\to 0=(100^2-(y+1)(z+1))x+y (99-z)\geq x (100^2-100.100)+y (99-99)=0 $$
Como se da la igualdad entonces $y=z=99$ entonces como $97\mid 9x+3y+z\to 97\mid 9x+3.99+99\to 97\mid x+44 \to x=53 $ pues $x $ esta entre 10 y 97. Entonces $abcdef=539999\to a+b+c+d+e+f=44$

No entendí cómo razonaste que $97\mid 9x+3y+z $

[Fran5]

Del enunciado, tenes que $97 \mid abcdef = 10000ab+100cd+ef$, de modo que $ 10000ab +100cd+ef \equiv 0 \pmod{97}$.

Pero $100 \equiv 3 \pmod{97}$, con lo cual $10000 \equiv 100 \cdot 100 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \pmod{97}$.

Luego $10000ab +100cd+ef \equiv 9ab + 3cd + ef = 9x+3y+z \equiv 0 \pmod{97}$