Un número entero positivo se dice $bonito$ si es igual a la suma de las potencias cuartas de cinco divisores distintos.
a) Demostrar que todo número $bonito$ es divisible por $5$.
b) Determinar si existen infinitos números $bonitos$.
$a)$ Notamos primero que si $x \equiv 0(5)$ entonces $x^4 \equiv 0(5)$, que si $x \equiv 1(5)$ entonces $x^4 \equiv 1(5)$, que si $x \equiv 2(5)$ entonces $x^4 \equiv 1(5)$, que si $x \equiv 3(5)$ entonces $x^4 \equiv 1(5)$ y que si $x \equiv 4(5)$ entonces $x^4 \equiv 1(5)$.
Tenemos entonces $n=d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4+d_5^4$. Si alguno de los $d_i$ es divisible por $5$ esto implicaría que $n$ lo es también ya que tendría un divisor múltiplo de $5$, y si ninguno de los $d_i$ lo es, entonces $d_i^4 \equiv 1(5)$ para $i=1,2,3,4,5$, con lo que $d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4+d_5^4 \equiv 1+1+1+1+1 \equiv 0(5)$, con lo que todo número bonito es múltiplo de $5$.
$b)$ Consideremos el número $m=1^4+2^4+3^4+4^4+6^4$. Es claro que $m$ es divisible por $1$ y por $2$, además, como las potencias cuartas solo son cero o uno módulo tres, tenemos que $1^4+2^4+3^4+4^4+6^4 \equiv 1+1+0+1+0 \equiv 0(3)$, por lo que también es divisible por $3$, pero es par y divisible por tres, luego también es divisible por $6$. Solo nos faltaría arreglarle algo para que nuestro ejemplo termine de ser copado. Veamos el siguiente número ahora: $n=2^4m=2^4(1^4+2^4+3^4+4^4+6^4)=(2.1)^4+(2.2)^4+(2.3)^4+(2.4)^4+(2.6)^4$, es claro que nuestro nuevo número es divisible por $2$, por $4$, por $6$ y por $12$ ya que le agregamos muchos dos en su factorización, pero le agregamos tantos que ahora el número es divisible por $8$ también, por lo que convertimos el divisor conflictivo de $m$ en algo que sirve en $n$. Y ahora bien, es claro que si un entero positivo $n$ cumple $n=d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4+d_5^4$ entonces $k^4n=k^4(d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4+d_5^4)=(kd_1)^4+(kd_2)^4+(kd_3)^4+(kd_4)^4+(kd_5)^4$ también cumple, luego, como $k$ puede recorrer todos los enteros positivos, conseguimos infinitos números bonitos y ganamos $\blacksquare$
