Primer Pretorneo 2019 NM P1

Matías

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Primer Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Matías » Mié 01 May, 2019 7:23 pm

Determinar todos los números enteros positivos $n$ para los que es posible dividir al conjunto de $2n$ números $1$, $2$, $\ldots$, $2n$ en $n$ parejas tales que si en cada pareja se efectúa la suma de los dos números y luego se multiplican las $n$ sumas, el resultado es un cuadrado perfecto.

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Gianni De Rico

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Re: Primer Pretorneo 2019 NM P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 01 May, 2019 8:41 pm

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Si $n$ es par entonces armamos todos los pares de la forma $(k,2n-k+1)$, entonces la suma de cada par es $2n+1$, y el producto de todos es $(2n+1)^n$ que es un cuadrado perfecto.
Veamos por inducción que para todos los impares mayores a $1$ podemos lograr lo pedido. Para el caso base $n=3$ armamos los pares $(1,5)$, $(2,4)$ y $(3,6)$, su producto es $6\cdot 6\cdot 9=6^2\cdot 3^2$ que claramente es un cuadrado.
Supongamos como hipótesis inductiva que podemos lograr lo pedido para $n=2k-1$ con $k\in \mathbb{N}, k>1$. Para $n=2k+1$ tenemos lo números $1,2,\ldots ,2(2k-1), 2(2k-1)+1,2(2k-1)+2,2(2k-1)+3,2(2k-1)+4$, armamos los pares $(2(2k-1)+1,2(2k-1)+4)$ y $(2(2k-1)+2,2(2k-1)+3)$, la suma de cada uno es $2(2k-1)+5$, por lo que su producto es $(2(2k-1)+5)^2$, y por hipótesis inductiva, podemos armar pares con los números $1,2,\ldots ,2(2k-1)$ de forma que su producto sea $x^2$ con $x\in \mathbb{N}$, luego el producto de todos lo pares será $x^2(2(2k-1)+5)^2$, que es un cuadrado perfecto. La inducción está completa. Luego, podemos lograr lo pedido para todos los impares mayores que $1$. Además, no podemos lograr lo pedido para $n=1$, pues el único par que podemos armar es $(1,2)$, y su suma es $3$, que no es un cuadrado perfecto.
Por lo tanto, podemos lograr lo pedido para todos los enteros positivos mayores que $1$.
[math]

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