OMCC 2019 - P1

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 22 Jun, 2019 4:03 pm

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha _1\alpha _2\ldots \alpha _k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha _1\alpha _2\ldots \alpha _kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.
[math]

BrunZo

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Re: OMCC 2019 - P1

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 23 Jun, 2019 9:21 pm

Solución:
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No es complicado notar que $9\mid p(2025)$. Probando los primeros casos, se obtiene la respuesta $p(2025)=45$ con $204525=2025\cdot 101$.

bruno
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Re: OMCC 2019 - P1

Mensaje sin leer por bruno » Lun 24 Jun, 2019 2:51 am

Spoiler: mostrar
Si $P(2025)=k$ tiene $n$ digitos entonces el numero que se forma es:

$20 *10^{n+2}+100k+25=2000 *10^n+100k+25$. Entonces $2025 \mid 2000 *10^n+100k+25$ $ \Rightarrow $ $2025 \mid 2000 *10^n+100k-2000$ $ \Rightarrow $ $2025 \mid 100*(20 *10^n+k-20)$ $ \Rightarrow $ $81 \mid 20 *10^n+k-20$

Si $n=1$. Entonces $81 \mid 180+k$. No existe ningun $k$ de $1$ digito que verifique lo pedido.
Si $n=2$. Entonces $81 \mid 1980+k$. Tomo el menor multiplo de $81$ mayor que $1980$, $2025$ y entonces $1980+k=2025$ $ \Rightarrow $ $k=45$.
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