Problema semanal 108 (29-4-19)

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CarlPaul_153
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Problema semanal 108 (29-4-19)

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Vie 28 Jun, 2019 10:37 am

108. Determinar si existen 99 números naturales consecutivos tales que el menor sea divisible por 100, el siguiente sea divisible por 99, el tercero sea divisible por 98, y así siguiendo, hasta que el último sea divisible por 2.
Última edición por CarlPaul_153 el Sab 29 Jun, 2019 6:40 pm, editado 1 vez en total.
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BrunoDS

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Re: Problema semanal 108 (29-4-19)

Mensaje sin leer por BrunoDS » Vie 28 Jun, 2019 9:57 pm

Spoiler: mostrar
$100!-100, 100!-99, ..., 100!-2$
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Ahora me faltan responder 100! Posts más (?
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

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CarlPaul_153
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Re: Problema semanal 108 (29-4-19)

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Sab 29 Jun, 2019 8:01 pm

Si se puede. Solución:
Spoiler: mostrar
Sea n el número más grande de los 99. Luego:

$n=2a_1$
$n=3.a_2-1$
$n=4.a_3-2$
$...$
$n=99.a_98-97$
$n=100.a_99-98$

O lo que es lo mismo
$n \equiv -2 \pmod{2}$
$n \equiv -2 \pmod{3}$
$...$
$n \equiv -2 \pmod{99}$
$n \equiv -2 \pmod{100}$

Esto quiere decir que n debe ser un número al que si se le suma 2 es divisible por todos los números del 1 al 100
$n = 100!-2$ satisface
Desafío: ¿Cual es la menor serie de números que satisface la propiedad?
Spoiler: mostrar
La menor serie es aquella en la que el número más grande es el mcm de todos los números del 1 al 100, menos dos. El mcm es el producto de todas las potencias de números primos menores que 100:
n=64x81x25x49x11x13x17x19x23x31x37x41x43x47x53x59x61x67x71x73x79x83x89x97-2
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