Zonal N2 P2 2019
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Joacoini
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Zonal N2 P2 2019
Se tienen $36$ bolillas numeradas del $1$ al $36$. Hay que distribuir las bolillas en varias cajas de modo que se cumplan simultáneamente las siguiente condiciones:
- Cada caja contenga al menos dos bolillas.
- Siempre que se saquen dos bolillas de una misma caja, la suma de los números escritos en esas bolillas sea múltiplo de $3$.
NO HAY ANÁLISIS.
Re: Zonal N2 P2 2019
Como una de las condiciones decía que tenía que haber como mínimo 2 bolillas en cada caja, el máximo número de cajas que podía haber era 18 (36/2)
Para calcular la menor cantidad posible de cajas lo que hice fue:
Agrupé todos los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 36 (son 12) para que quedaran todos en una misma caja.
Con los 24 números restantes había diferentes maneras de agruparlos de a 2. Una de ellas era:
Caja 1: 1 y 2
Caja 2: 4 y 5
Caja 3: 7 y 8
Caja 4: 10 y 11
Caja 5: 13 y 14
Caja 6: 16 y 17
Caja 7: 19 y 20
Caja 8: 22 y 23
Caja 9: 25 y 26
Caja 10: 28 y 29
Caja 11: 31 y 32
Caja 12: 34 y 35
La caja 13 estaba conformada por los múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36.
Si sacamos 2 bolillas de cualquier caja, al sumarlos, obtenemos un múltiplo de 3.
Para calcular la menor cantidad posible de cajas lo que hice fue:
Agrupé todos los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 36 (son 12) para que quedaran todos en una misma caja.
Con los 24 números restantes había diferentes maneras de agruparlos de a 2. Una de ellas era:
Caja 1: 1 y 2
Caja 2: 4 y 5
Caja 3: 7 y 8
Caja 4: 10 y 11
Caja 5: 13 y 14
Caja 6: 16 y 17
Caja 7: 19 y 20
Caja 8: 22 y 23
Caja 9: 25 y 26
Caja 10: 28 y 29
Caja 11: 31 y 32
Caja 12: 34 y 35
La caja 13 estaba conformada por los múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36.
Si sacamos 2 bolillas de cualquier caja, al sumarlos, obtenemos un múltiplo de 3.
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Gianni De Rico
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Re: Zonal N2 P2 2019
Comentario:
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Re: Zonal N2 P2 2019
Claro. Lo que yo hice para explicar eso fue escribir que números podían ir con cada número para que su suma de como resultado un múltiplo de 3.
1: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35 (estos serían los números que pueden estar en la caja con 1. Los llamé A)
2: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 (estos son los numeros que pueden estar en la caja con 2. Los llamé B)
Con 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 pueden ir los números A mientras que con 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 y 35 puden ir los números B. Además los números de A no pueden estar juntos ya que el resultado de su suma no es un múltiplo de 3. Lo mismo pasa con los del grupo B. Por lo que, la única manera es poner un número de A con otro B formando así 12 cajas que contienen un número A y otro B. La caja restante es la que contiene los múltiplos de 3.
1: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35 (estos serían los números que pueden estar en la caja con 1. Los llamé A)
2: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 (estos son los numeros que pueden estar en la caja con 2. Los llamé B)
Con 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34 pueden ir los números A mientras que con 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32 y 35 puden ir los números B. Además los números de A no pueden estar juntos ya que el resultado de su suma no es un múltiplo de 3. Lo mismo pasa con los del grupo B. Por lo que, la única manera es poner un número de A con otro B formando así 12 cajas que contienen un número A y otro B. La caja restante es la que contiene los múltiplos de 3.