Problema de Sumas

comp4s.
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Problema de Sumas

Mensaje sin leer por comp4s. » Mar 13 Ago, 2019 2:29 pm

Se escriben todos los números entre $1$ y $999$ que tienen exactamente dos dígitos $1$. ¿Cuánto vale la suma de estos números?

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DiegoLedesma
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Re: Problema de Sumas

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Jue 15 Ago, 2019 8:08 pm

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Con dos dígitos únicamente se tiene el número $11$. Con tres, serán todos los números de la forma $11a$, $1a1$ y $a11$, siendo $a$ entero y $2$$\leq$$a$$\leq$$9$. Calculamos la suma de esos dígitos que no son $1$: $\frac{9.10}{2}-1$$=$$44$. Luego, sólo nos quedará sumar los 3 posibles casos: $112+113+...+119=880+44=924$; $121+131+...191=800+440+8=1248$; $211+311+...+911=4400+88=4488$
$\therefore$La suma será: $11+924+1248+4488=6671$.

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Guty
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Re: Problema de Sumas

Mensaje sin leer por Guty » Mar 20 Ago, 2019 12:44 am

DiegoLedesma escribió:
Jue 15 Ago, 2019 8:08 pm
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Con dos dígitos únicamente se tiene el número $11$. Con tres, serán todos los números de la forma $11a$, $1a1$ y $a11$, siendo $a$ entero y $2$$\leq$$a$$\leq$$9$. Calculamos la suma de esos dígitos que no son $1$: $\frac{9.10}{2}-1$$=$$44$. Luego, sólo nos quedará sumar los 3 posibles casos: $112+113+...+119=880+44=924$; $121+131+...191=800+440+8=1248$; $211+311+...+911=4400+88=4488$
$\therefore$La suma será: $11+924+1248+4488=6671$.
Ojo:
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Te falta considerar $a = 0$ en los casos $11a$ y $1a1$. Sí lo hiciste para $a11$ analizando el número 11 por separado
Entonces la respuesta sería:
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$6671 + 101 +110 = 6882$
Y por si sabés/te interesa programar un poquito, podés verificarlo haciendo que la compu pruebe todo :D .
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Ejemplo en python:

$\texttt{sum([x for x in range(1,1000) if str(x).count('1') == 2])} \rightarrow 6882$

comp4s.
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Re: Problema de Sumas

Mensaje sin leer por comp4s. » Mar 20 Ago, 2019 3:01 pm

Comparto otra manera de hacerlo :) :
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Se tienen que buscar los números de la forma $a11$, $1a1$, $11a$, con $2\leq a\leq9$, y además considerar el caso $a=0$ (pues entran los números $11$, $101$, $110$). Separando cada caso en sumatorias, tenemos:

$\bullet$ $a11$ $(11, 211, . . ., 911)$

$11 + \sum_{a=2}^{9}(100a+11) = 11 + 100\cdot (\sum_{a=2}^{9}a)+ \sum_{a=2}^{9}11= 11+100\cdot44+8\cdot11=100\cdot44+9\cdot11$


$\bullet$ $1a1$ $(101,121,...,191)$

$101 + \sum_{a=2}^{9}(10a+101) = 101 + 10\cdot (\sum_{a=2}^{9}a)+ \sum_{a=2}^{9}101=101+10\cdot44+8\cdot101=10\cdot44+9\cdot101$


$\bullet$ $11a$ $(110,112,...,119)$

$110 + \sum_{a=2}^{9}(a+110)=110+ \sum_{a=2}^{9}a+ \sum_{a=2}^{9}110=110+44+8\cdot110=44+9\cdot110$


Luego, la suma de los tres casos resultaría:

$(100\cdot44+9\cdot11) + (10\cdot44+9\cdot101) + (44+9\cdot110) = 111\cdot44+222\cdot9= 6882$

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