Regional 2019 - N3 - P1

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AgusBarreto

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Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:59 pm

Sean $p$ y $q$ dos números primos positivos menores que $100$, no necesariamente distintos. Sea $n$ el número que resulta de escribir $p$ y a continuación, a su derecha, escribir $q$; sea $k$ la multiplicación de $p$ por $q$. Si $n-k=208$, hallar $p$ y $q$. Dar todas las posibilidades.

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BrunoDS

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por BrunoDS » Jue 12 Sep, 2019 6:07 pm

Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1 V2.0 (?
Spoiler: mostrar
Seguro muchos se olvidaron que el $1$ era primo y que anda:

$p=23$ y $q=1$

No, @EMILIANO LIWSKI ?
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

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BrunoDS

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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por BrunoDS » Jue 12 Sep, 2019 6:47 pm

Bueno, va una solución:
Spoiler: mostrar
Si $q<10$:

$n-k=10p+q-pq=208 \Leftrightarrow 10p+q-pq-10=198 \Leftrightarrow (p-1)(10-q)=198$

Notemos que $198=1×198=2×99=3×66=6×33=9×22=11×18$

Sabiendo que $10-q<10$ probamos con los divisores menores que $10$ y obtenemos una sola solución:

$p=67; q=7$


Si $10<q<100$:

$n-k=100p+q-pq=208 \Leftrightarrow 100p+q-pq-100=108 \Leftrightarrow (p-1)(100-q)=108$

Notemos que:
$108=1×108=2×54=3×36=4×27=6×18=9×12$

Sabiendo que $100-q$ es impar, a no ser que $q=2$ (lo cual no funciona), probamos con los divisores que son impares y obtenemos $2$ soluciones más:

$p=37; q=97$
$p=5; q=73$
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

Santito
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Re: Regional 2019 - N3 - P1

Mensaje sin leer por Santito » Jue 12 Sep, 2019 7:13 pm

Spoiler: mostrar
n-k=208
Si q tiene 1 dígito, n = 10p+q
Si q tiene 2 dígitos, n = 100p+q

k = pq

Entonces, separamos en dos casos:

A) Q TIENE 2 DÍGITOS
100p + q - pq = 208
100p - pq = 208 - q
100p - 208 = pq - q
100p - 208 = q (p - 1)

Descartamos los casos en los que p termina en 1 (porque p-1 terminaría en 0, y 100 p - 208 nunca puede terminar en 0) y chequeamos los 20 casos restantes: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 43, 47, 53, 59, 67, 73, 79, 83, 89 y 97.

Valen:
p = 5, q = 73
p = 37, q = 97

B) Q TIENE 1 DÍGITO
10p + q - pq = 208
10p - pq = 208 - q
p (10 - q) = 208 - q

Como 10-q es positivo, solo chequeamos con los primos menores que 10.

Vale:
p = 67, q =7.

Esas son las tres soluciones. Sería ideal poder acotar un poco más las posibilidades en el caso A para no tener que chequear tantos casos particulares.

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