Sean $p$ y $q$ dos números primos positivos menores que $100$, no necesariamente distintos. Sea $n$ el número que resulta de escribir $p$ y a continuación, a su derecha, escribir $q$; sea $k$ la multiplicación de $p$ por $q$. Si $n-k=208$, hallar $p$ y $q$. Dar todas las posibilidades.
Descartamos los casos en los que p termina en 1 (porque p-1 terminaría en 0, y 100 p - 208 nunca puede terminar en 0) y chequeamos los 20 casos restantes: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 43, 47, 53, 59, 67, 73, 79, 83, 89 y 97.
Valen:
p = 5, q = 73
p = 37, q = 97
B) Q TIENE 1 DÍGITO
10p + q - pq = 208
10p - pq = 208 - q
p (10 - q) = 208 - q
Como 10-q es positivo, solo chequeamos con los primos menores que 10.
Vale:
p = 67, q =7.
Esas son las tres soluciones. Sería ideal poder acotar un poco más las posibilidades en el caso A para no tener que chequear tantos casos particulares.
Entonces tenemos dos numeros que multiplicados dan -108. q - 100 es negativo porque p - 1 no puede ser negativo porque p no puede ser negativo. Lo que vamos a hacer, entonces, es ver todos los factores de 108 y ver los valores que tomarian p y q en ese caso y ver si son primos.
Valores de (p - 1, q - 100), que tenemos que chequear:
(1, -108)
(2, -54)
(3, -36)
(4, -27)
(6, -18)
(9, -12)
(12, -9)
(18, -6)
(27, -4)
(36, -3)
(54, -2)
(108, -1)
Todos los primos (como p y q) mayores a 3 son de la forma
6k + 1, o 6k + 5.
Entonces
p - 1 = 6k + 0, o 6k + 4
q - 100 = 6k + 3, o 6k + 1
Marque con rojo todos los valores de p y q en la tabla anterior que no sirven por esta razon (porque se que p y q no van a ser primos).
Entonces solo tengo que probar con los pares que tienen ni p ni q en rojo y ver si son primos o no:
p - 1 = 4, q - 100 = -27. p = 5, q = 73, ambos primos. Entonces funciona.
p - 1 = 12, q - 100 = -9. p = 13, q = 91 = 13 * 7 entonces no funciona porque q no seria primo.
p - 1 = 36, q - 100 = -3. p = 37, q = 97, ambos primos. Entonces funciona.
$10p + q - pq = 208 \Rightarrow p(10 - q) + q = 208 \Rightarrow q - 10 -p(q - 10) = 198 \Rightarrow (p - 1)(10 - q) = 198$
Como el valor de los paréntesis es entero, estos van a tomar algún divisor de 198. q puede ser como máximo 7, sino seria negativo, probando llegamos a que los únicos valores que cumplen en este caso son $p = 67, q = 7$
Ahora el caso donde $q > 10$
$100p + q - pq = 208 \Rightarrow p(100 - q) + q = 208 \Rightarrow q - 100 -p(q - 100) = 108 \Rightarrow (p - 1)(100 - q) = 108$
Como q es primo mayor que 2, el paréntesis derecho siempre va a ser impar, entonces $(p - 1)$ va a tomar la forma de $4.3^k$ y $k$ puede ser 0, 1, 2, 3.
Probando con estos pocos valores llegamos a que hay dos soluciones que cumplen, dejándonos con un total de 3.
$(p, q) = (67, 7) , (5, 73), (37, 97)$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$