Ibero 2019 - P6

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Gianni De Rico

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Ibero 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 16 Sep, 2019 4:04 pm

Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$,

$P(n)$ divide a $a^n_1+a^n_2+\cdots +a^n_{2019}$.

Demuestra que $P$ es un polinomio constante.
Queda Elegantemente Demostrado

jujumas

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Re: Ibero 2019 - P6

Mensaje sin leer por jujumas » Lun 16 Sep, 2019 5:45 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Lema: Para todo polinomio $P$ no constante de coeficientes enteros existen infinitos primos $q$ tales que $q \mid P(n)$ para cierto $n$ entero.
Spoiler: mostrar
Demo: Sea $P(x) = a_nx^n + \cdots a_1x + a_0$. Si $a_0=0$, todos los términos son divisibles por $x$ y en particular $q \mid P(q)$. Si $a_0 \neq 0$, supongamos lo contrario. Sea $M$ el producto de los finitos primos que dividen a algún $P(n)$, con $n$ entero, tenemos que $P(a_0M) = a_nM^na_0^n + \cdots a_1Ma_0 + a_0 = a_0(a_nM^na_0^{n-1} + \cdots a_1M + 1)$, pero notemos que el lado derecho es claramente coprimo con $M$. Absurdo.

Sea $f(n) = a_1^n + a_2^n + \cdots + a_{2019}^n$. Por Lema, si $P$ no es constante existe un primo $q$ mayor a todos los $a_i$ y a $2019$ tal que para cierto entero positivo $k$, $q \mid P(k)$. Notemos entonces que $q \mid P(k+qm)$, para todo $m$ entero.

Como $q$ y $q-1$ son coprimos, $k+qm$ recorre todos los restos módulo $q-1$, y en particular $q \mid P((q-1)y)$, para cierto $y$ entero.

Luego, $q \mid f((q-1)y)$, pero por fermatito, como $q$ es mayor a los $a_i$, estos son coprimos con $q$ y tenemos que $a_i^{((q-1)y)}$ tiene resto $1$ en la división por $q$, pero luego $f((q-1)y)$ tiene resto $2019$ en la división por $q$. Absurdo, porque $q$ es mayor a $2019$.
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