Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P5

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 02 Nov, 2019 10:54 pm

Diremos que un par de enteros positivos distintos $(m,n)$ es bello si $mn$ y $(m+1)(n+1)$ son cuadrados perfectos. Demostrar que para todo entero positivo $m$ existe por lo menos un entero $n>m$ tal que el par $(m,n)$ es bello.
NO HAY ANÁLISIS.

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Fran5

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 07 Nov, 2019 1:50 pm

Spoiler: mostrar
Para $m= 1$ tomamos $n = 49$, de modo que $mn = 49 = 7^2$ y $(m+1)(n+1) = 4 \cdot 5^2= 10^2$.
Para $m = 2$ tomamos $n = 2 \cdot 11^2 = 242$, de modo que $mn = 4 \cdot 121 = 484 = 22^2$ y $(m+1)(n+1) = 9 \cdot 81 =729 = 27^2$

Para estos $m$ lo que hicimos fue pensar que $n = mk^2$ y que $n+1 = (m+1)l^2$.
Luego buscamos algún $l^2$ coprimo con $m$ tal que nos diera. De este modo encontramos $n =49$ y $ n = 242$

En particular, $1 = (m+1)l^2 - mk^2$, de modo que $m,l,k$ deberían ser coprimos entre sí

Pero $1 =l^2 + m(l^2 - k^2)$, y sabemos que $k^2 - l^2$ debe ser una suma de números impares consecutivos.

Reordenando, $m(2l+1+ 2l+3+ \ldots + 2k-1) = 3+5 + \ldots + 2l-1$

Ahora viene la magia en el lado derecho!
Tomemos $l$ par. Tomemos el primer y el último número, el segundo y el penúltimo, $\ldots$. Estos números me determinan $\frac{l-1}{2}$ parejas de igual suma $2l+2$. Acomodemos esas parejas en grupitos, donde en cada grupito habría $2$ parejas, de modo que sumen $4l+4$. Si hubiera $m$ grupitos tendríamos suma total $m(4l+4)$, con lo cual queremos expresar a $4l+4$ como la suma $2l+1+ 2l+3 + \ldots + 2k-1$. Esto se logra tomando $2k-1 = 2l+3$, es decir, $k = l+2$ (GANAMOS!)

Luego tenemos $m$ grupitos de $2$ parejas, es decir que $\frac{l-1}{2} = 2m$, luego $l = 4m+1$ y $k = l+2 = 4m+3$.

Finalmente $n = mk^2 = m(4m+3)^2 = (16m^3 + 24m^2 +9m)$.
Es claro que $mn = (4m^2+3m)^2$
Ahora, $16m^3 + 24m^2 +9m+1 = m(16m^2+ 8m + 1)+(16m^2+8m+1) = (m+1)(4m+1)^2$, con lo cual $(m+1)(n+1) = (m+1)^2(4m+1)^2$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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