Problema 1 Nivel 2 Río 2019

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Sandy

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Problema 1 Nivel 2 Río 2019

Mensaje sin leer por Sandy » Lun 09 Dic, 2019 9:11 pm

Sean $a$, $b$, $c$ enteros positivos tales que

$a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

Suponga que uno de los números $a$, $b$, $c$ es cuadrado perfecto. Demuestre que los otros dos también lo son.

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Turko Arias

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Re: Problema 1 Nivel 2 Río 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 09 Dic, 2019 9:22 pm

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Sin pérdida de generalidad asumamos $a=k^2$ con $k$ entero positivo. Nos queda entonces:
$k^4+b^2+c^2=(k^2-b)^2+(b-c)^2+(c-k^2)^2=2k^4+2b^2+2c^2-2bk^2-2ck^2-2bc$, o lo que es lo mismo, $2bk^2+2ck^2=b^2+c^2+k^4-2bc=(b-c)^2+k^4$.
Tenemos entonces $2k^2(b+c)=(b-c)^2+k^4$, por lo que $k^2|(b-c)^2$ y nos queda $2(b+c)= \left( \frac{b-c}{k} \right)^2+k^2 (1)$.

Sumando $2\left( \frac{b-c}{k} \right)k$ a ambos lados tenemos:
$2(b+c)+2\left( \frac{b-c}{k} \right)k= 4b= \left( \frac{b-c}{k} \right)^2+k^2+ 2\left( \frac{b-c}{k} \right)k= \left( \left( \frac{b-c}{k} \right)+k \right)^2$, de donde $4b$ es cuadrado perfecto y por ende $b$ lo es.

Restando $2\left( \frac{b-c}{k} \right)k$ a ambos lados tenemos:
$2(b+c)-2\left( \frac{b-c}{k} \right)k= 4c= \left( \frac{b-c}{k} \right)^2+k^2- 2\left( \frac{b-c}{k} \right)k= \left( \left( \frac{b-c}{k} \right)-k \right)^2$, de donde $4c$ es un cuadrado perfecto y por ende $c$ lo es y estamos $\blacksquare$

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Turko Arias

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Re: Problema 1 Nivel 2 Río 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 11 Dic, 2019 10:00 pm

Una vez @Joacoini dijo que el que solo dispone de un martillo, trata a todo como si fuera un clavo... Mientras sigan tomando problemas clavos, los martillos van a seguir sirviendo, así que acá va otra solución con el mismo truco de siempre :lol: :lol: :lol: :
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Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a$ no es el cuadrado perfecto. Desarrollando todos los cuadrados, y cancelando como si no hubiera un mañana nos queda que la ecuación del enunciado es equivalente a $a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac=0$ o, lo que es lo mismo $a^2-a(2b+2c)+(b-c)^2=0$, que es una una flor de cuadrática en $a$. Pero $a$ es entero positivo, por lo que su discriminante, que es $(-2b-2c)^2-4(b-c)^2$ debe ser un cuadrado perfecto. Pero simplificando, nos queda que $16bc$ tiene que ser un cuadrado perfecto, es decir $16bc=k^2$, o equivalentemente $bc=\left( \frac{k}{4} \right)^2$. Luego, si $b$ es cuadrado perfecto, $c$ también lo es, y viceversa, así que estamos $\blacksquare$
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Juancito
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Re: Problema 1 Nivel 2 Río 2019

Mensaje sin leer por Juancito » Sab 14 Dic, 2019 7:48 pm

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Para empezar, desarrollamos la expresión algebraica.
$a^2+b^2+c^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
$a^2+b^2+c^2=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2$
$a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac$
$0=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac$
Podemos ver que el lado derecho se asemeja a un cuadrado de trinomio, por lo que lo reescribiremos de 3 formas distintas
$4bc=(a-b-c)^2$
$4ab=(c-a-b)^2$
$4ac=(b-a-c)^2$
Como el lado derecho es un cuadrado perfecto, el lado izquierdo tambien lo tiene que ser, y como $4$ es un cuadrado perfecto, los productos de $ab$, $bc$ y $ac$ todos tienen que ser cuadrados perfectos. Por ultimo, si un número es un cuadrado perfecto y queremos obtener otro cuadrado perfecto al multiplicarlo por un segundo número, este segundo tambien tiene que ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto si uno de los numeros $a$, $b$ o $c$ es un cuadrado perfecto, los otros dos tambien tienen que serlo.
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