Com – Partida de Matemática del Uruguay Final 2012 nivel 3

bolonia
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Com – Partida de Matemática del Uruguay Final 2012 nivel 3

Mensaje sin leer por bolonia » Mar 21 Ene, 2020 10:26 pm

Se escriben en una lista los múltiplos de $7$ y de $8$, de la siguiente manera:$$7,~8,~14,~16,~21,~\ldots$$Los números que son múltiplos comunes se escriben una sola vez.
¿Cuál número aparece en la posición $2012$?

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DiegoLedesma
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Re: Com – Partida de Matemática del Uruguay Final 2012 nivel 3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Vie 01 May, 2020 8:57 pm

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Notemos que los múltiplos de $7$ ocupan los lugares impares dentro de la sucesión, mientras que los múltiplos de $8$, los lugares pares.
Cada $8$ términos que ocupan los lugares impares, serán múltiplos de $8$ ($7.8$,$7.2.8$,$7.3.8$, etc), que serán los múltiplos comunes; a consecuencia de esto, no los deberemos incluir en la lista. Además, aclaremos que los múltiplos comunes que eliminaremos de la lista serán los que ocupen lugar impar, ya que un múltiplo común a $7$ y $8$ aparecerá antes en la sucesión ocupando un lugar par (por ej: $a_{14}=8.7=56$; $ a_{15}=7.8=56$)
Ahora bien, en la lista en la que no excluimos a los múltiplos comunes, en los términos pares se cumple que: $a_{n}=4n$.
Sabiendo esto, agrupemos la lista en filas de $16$ términos, y tomemos en cada una de ellas el último: por ser un término que ocupe un lugar par, se tendrá que siendo $a_{n}$ éste término: $a_{n}=4n$, pero además la cantidad de términos $b_{n}$ que haya que tachar de ésas filas (por ser múltiplos comunes repetidos) será de $b_{n}=\frac{n}{16}$
Entonces, quitándole los números tachados, hasta ese último término de la fila que elijamos, tendremos en la sucesión la cantidad de términos $m$, tal que $m=n-\frac{n}{16}=\frac{15}{16}n$
Notemos, además, que aquéllos múltiplos comunes que serán tachados adoptan la forma $a_{n}=c.7.8$, siendo $c$ el número de fila en que se encuentran, pero además -lo más importante- por multiplicar al $7$ por $8$, los tendremos en el último lugar impar de cada fila.
Sabiendo entonces que buscamos el término $2012$ de la lista, tendremos una buena aproximación cuando $m=2012$ $\Rightarrow$ $2012=\frac{15}{16}.n$ $\Rightarrow$ $n=2146\tfrac{2}{15}$. Como esta ecuación es válida para los últimos elementos de cada fila, tomemos el múltiplo de $16$ anterior a $2146$; dicho número será $2144$. Aplicando la fórmula nuevamente, $m=\frac{15}{16}.2144=2010$. Esto significa que el $2º$ término de la siguiente fila, ocupará el lugar $2012$ de la sucesión con múltiplos excluidos, y dicho número será $a_{2146}=4.2146=8584$.

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