Sea $C$ un entero positivo, y sea $a_1, a_2,...$ una sucesión infinita de enteros positivos tales que:
$$a_{n+1}=\sqrt{a_n^3-Ca_n}$$
Para cada entero positivo $n$. Probar que eventualmente la sucesión se vuelve constante, es decir existen dos enteros positivos $N$ y $k$ tales que para todo entero positivo $i>N$, $a_i=k$.
Vamos a probar que según el $C$ que nos tomemos, la sucesión va a ser monótona creciente o monótona decreciente. Supongamos, por ejemplo, que la sucesión es monótona decreciente:
$a_{n+1} < a_n \Leftrightarrow a_n^3 - Ca_n < a_n^2 \Leftrightarrow a_n^2 - C < a_n \Leftrightarrow a_n^2 - a_n < C$. En caso contrario, la sucesión sería monótona creciente.
De otro modo, si $C = a_n^2 - a_n \Rightarrow $ por definición: $a_{n+1}^2 = a_n^3 - a_n (a_n^2 - a_n) = a_n^2 \Rightarrow a_{n+1} = a_n,$ $\forall n$, por lo que resulta constante.
Como es análoga la resolución en cada caso, voy a ver la situación en la que $a_n$ es monótona decreciente:
Tenemos que: $0 < -a_n^2 + a_n + C \Rightarrow a_n > \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$, tomando solo la solución positiva por estar trabajando en $Z^+$.
A la conclusión que llegamos es que $a_n > a_{n+1} \Leftrightarrow a_n^2 - a_n < C, \ \forall a_n > \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$.
Pero supongamos que: $\exists \ n_0$ $/$ $a_{n_0} = \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2} \Rightarrow a_{n_0 + 1} = \sqrt{(\frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2})^3 - C \cdot \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}} = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{1+4C})((\sqrt{1+4C}+1)^2-4C)}{8}} = \sqrt{ \frac{2(1 + \sqrt{1+4C})(1+\sqrt{1+4C})}{8}} = \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$
Para ver que existe el $n_0$ notemos que como la sucesión es monótona, necesariamente $a_n$ crece o decrece infinitamente. Ahora, tenemos que ${inf}(a_n) = \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2} \Rightarrow $ como no existen infinitos enteros mayores al $inf(a_n)$ y menores que $a_1$, necesariamente la sucesión se mantiene constante en algún $a_{ \psi} \geq {inf}(a_n)$. Por ende, existe $n_0$ o se mantiene constante en algún valor mayor. Es análogo al caso del supremo.
Esto demuestra que la sucesión es monótona pero se mantiene constante a partir de un determinado $n_0$, con $a_{n_0} = a_{n_0 + 1} = \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$.
Última edición por Nicolas Valen el Mar 27 Oct, 2020 1:13 am, editado 1 vez en total.
Ahora, queremos ver que existe ese $n_0$, por lo que supongamos que: $ \exists \ \psi \ / \ a_{ \psi - 1} > \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$ y $a_{ \psi} < \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}.$
La hipótesis es falsa de entrada porque la sucesión supones que es monótona. Te falta usar que la sucesión es de enteros positivos.
Ahora, queremos ver que existe ese $n_0$, por lo que supongamos que: $ \exists \ \psi \ / \ a_{ \psi - 1} > \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}$ y $a_{ \psi} < \frac{1 + \sqrt{1+4C}} {2}.$
La hipótesis es falsa de entrada porque la sucesión supones que es monótona. Te falta usar que la sucesión es de enteros positivos.
Y cómo sabés que $a_{n+2}<a_{n+1}$ a partir de esto?
Además tampoco viste qué pasa si la sucesión es oscilante.
Por el si y solo si tenemos que viéndolo desde el primer término se cumple que: $a_n^2 - a_n < C \implies a_{n+1} < a_n \Rightarrow a_{n+1}^2 - a_{n+1} < a_n^2 - a_n < C$ por ende, $a_{n+2} < a_{n + 1}$.
No hay caso oscilante dado que es monótona. Hay tres chances:
1) si $C < a_n^2 - a_n$ es monótona.
2) si $C > a_n^2 - a_n$ es monótona
3) si $C = a_n^2 - a_n$ es constante (monótona).
Una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos diverge a $+\infty$, una sucesión estrictamente decreciente de enteros positivos es finita. Fijate qué tenés que arreglar por ahí...
Una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos diverge a $+\infty$, una sucesión estrictamente decreciente de enteros positivos es finita. Fijate qué tenés que arreglar por ahí...
Justamente pongo que el si y solo si vale $\forall a_n > \frac{1+ \sqrt{1+4C}}{2}$, o $\forall a_n < \frac{1+ \sqrt{1+4C}}{2}$ en el caso análogo. La sucesión es estrictamente decreciente en el intervalo: $(a_{n_0}, a_1$], pero $\forall n \geq n_0$ la sucesión debe mantenerse constante, como está escrito en la demo.
