Provincial 1997 - Nivel 1 - Problema 2

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Monazo

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Provincial 1997 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo » Sab 16 May, 2020 6:15 pm

Hallar todos los cuadrados perfectos que tienen el primer dígito (de la izquierda) igual a $1$ y todos los restantes dígitos iguales a $4$.

Felibauk

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Re: Provincial 1997 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Felibauk » Sab 16 May, 2020 10:12 pm

Primero veamos las posibilidades más pequeñas: $14$ no es un cuadrado perfecto, en cambio, $144=12^2$ y $1444=38^2$.
Ahora hay que demostrar que los números de la forma $14...444 = N$ que tienen al menos cuatro dígitos 4, no son cuadrados perfectos. Establezcamos la igualdad $N = m^2$ en los enteros y lleguemos a un absurdo. Como $N$ es múltiplo de $4$, entonces $m$ es par y por lo tanto, puede ser expresado como $m = 2t$, con $t$ entero. $N = 14...444 = (2t)^2 = 4t^2$, que si dividimos entre 4 a ambos lados queda $361...11=t^2$. Y aquí es importante notar que como $N$ tiene al menos cuatro dígitos 4, el número $361...11=\frac{N}{4}$ tiene sus últimos dos dígitos iguales a $1$. De este modo podemos afirmar que $361...11 \equiv 11 \equiv t^2$ (mod $100$), que tenemos que demostrar que es falso, y así quedaría completa la demostración.
Como $11 \equiv t^2$ (mod $100$), podemos afirmar que $t^2 = 100a + 11 \equiv 1$(mod $10$), por lo tanto, o bien $t \equiv 1$ (mod $10$), o bien $t \equiv 9$ (mod $10$). Así descartamos varios casos para probar. Nos quedan los siguientes:

.$t \equiv 1$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 9$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 11$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$(mod $100$), absurdo
.$t \equiv 19$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 21$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 29$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 31$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 39$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 41$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 49$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 51$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 59$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo

Y a partir de aquí, se repiten los dos ciclos de congruencia, por lo tanto, como en ninguna de las dos existe un $t$ tal que $t^2 \equiv 11$ (mod $100$), llegamos a un absurdo. Luego, no existe ningún $N$ que cumpla las condiciones antes descritas.
RTA: los únicos números que son cuadrados perfectos, tienen su primer dígito igual a $1$ y todos los demás, iguales a $4$ son $144$ y $1444$.

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¿hola?

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Re: Provincial 1997 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 16 May, 2020 10:31 pm

Felibauk escribió:
Sab 16 May, 2020 10:12 pm
Primero veamos las posibilidades más pequeñas: $14$ no es un cuadrado perfecto, en cambio, $144=12^2$ y $1444=38^2$.
Ahora hay que demostrar que los números de la forma $14...444 = N$ que tienen al menos cuatro dígitos 4, no son cuadrados perfectos. Establezcamos la igualdad $N = m^2$ en los enteros y lleguemos a un absurdo. Como $N$ es múltiplo de $4$, entonces $m$ es par y por lo tanto, puede ser expresado como $m = 2t$, con $t$ entero. $N = 14...444 = (2t)^2 = 4t^2$, que si dividimos entre 4 a ambos lados queda $361...11=t^2$. Y aquí es importante notar que como $N$ tiene al menos cuatro dígitos 4, el número $361...11=\frac{N}{4}$ tiene sus últimos dos dígitos iguales a $1$. De este modo podemos afirmar que $361...11 \equiv 11 \equiv t^2$ (mod $100$), que tenemos que demostrar que es falso, y así quedaría completa la demostración.
Como $11 \equiv t^2$ (mod $100$), podemos afirmar que $t^2 = 100a + 11 \equiv 1$(mod $10$), por lo tanto, o bien $t \equiv 1$ (mod $10$), o bien $t \equiv 9$ (mod $10$). Así descartamos varios casos para probar. Nos quedan los siguientes:

.$t \equiv 1$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 9$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 11$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$(mod $100$), absurdo
.$t \equiv 19$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 21$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 29$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 31$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 39$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 41$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 49$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 51$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 59$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo

Y a partir de aquí, se repiten los dos ciclos de congruencia, por lo tanto, como en ninguna de las dos existe un $t$ tal que $t^2 \equiv 11$ (mod $100$), llegamos a un absurdo. Luego, no existe ningún $N$ que cumpla las condiciones antes descritas.
RTA: los únicos números que son cuadrados perfectos, tienen su primer dígito igual a $1$ y todos los demás, iguales a $4$ son $144$ y $1444$.
Creo que $1$ también es solución.
Yes, he who

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Joacoini

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Re: Provincial 1997 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 17 May, 2020 1:11 am

Felibauk escribió:
Sab 16 May, 2020 10:12 pm
Primero veamos las posibilidades más pequeñas: $14$ no es un cuadrado perfecto, en cambio, $144=12^2$ y $1444=38^2$.
Ahora hay que demostrar que los números de la forma $14...444 = N$ que tienen al menos cuatro dígitos 4, no son cuadrados perfectos. Establezcamos la igualdad $N = m^2$ en los enteros y lleguemos a un absurdo. Como $N$ es múltiplo de $4$, entonces $m$ es par y por lo tanto, puede ser expresado como $m = 2t$, con $t$ entero. $N = 14...444 = (2t)^2 = 4t^2$, que si dividimos entre 4 a ambos lados queda $361...11=t^2$. Y aquí es importante notar que como $N$ tiene al menos cuatro dígitos 4, el número $361...11=\frac{N}{4}$ tiene sus últimos dos dígitos iguales a $1$. De este modo podemos afirmar que $361...11 \equiv 11 \equiv t^2$ (mod $100$), que tenemos que demostrar que es falso, y así quedaría completa la demostración.
Como $11 \equiv t^2$ (mod $100$), podemos afirmar que $t^2 = 100a + 11 \equiv 1$(mod $10$), por lo tanto, o bien $t \equiv 1$ (mod $10$), o bien $t \equiv 9$ (mod $10$). Así descartamos varios casos para probar. Nos quedan los siguientes:

.$t \equiv 1$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 9$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 11$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$(mod $100$), absurdo
.$t \equiv 19$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 21$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 29$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 41$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 31$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 61$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 39$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 21$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 41$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 49$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 51$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 1$ (mod $100$), absurdo
.$t \equiv 59$ (mod $100$) $\Rightarrow t^2 \equiv 81$ (mod $100$), absurdo

Y a partir de aquí, se repiten los dos ciclos de congruencia, por lo tanto, como en ninguna de las dos existe un $t$ tal que $t^2 \equiv 11$ (mod $100$), llegamos a un absurdo. Luego, no existe ningún $N$ que cumpla las condiciones antes descritas.
RTA: los únicos números que son cuadrados perfectos, tienen su primer dígito igual a $1$ y todos los demás, iguales a $4$ son $144$ y $1444$.
Más corto, fíjate que $361...11 \equiv 11 \equiv 3$ (mod $4$) pero no hay cuadrados perfectos de ese tipo.
NO HAY ANÁLISIS.

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