Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 3 - Problema 1

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Monazo

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Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Dom 17 May, 2020 1:15 am

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n+19$ y $n+97$ son ambos potencias de $3$.

Fedex

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Re: Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fedex » Dom 17 May, 2020 2:54 am

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$n+19 = 3^x$
$n+97 = 3^y$
$3^x - 19 = 3^y - 97$
$3^x + 78 = 3^y$
$78 = 3^y - 3^x = 3^x ( 3^{y-x} - 1)$
$78 = 3 . 26$
Como es claro que $y > x$ entonces $3^{y-x} - 1 \equiv -1 \: (mod \: 3)$.
De esta forma tenemos qué:
$3^x = 3$
$x = 1$
$3^{y-x} - 1 = 26$
$3^{y-1} = 27 = 3^3$
$y=4$
Se desprende que $n=-16$ pero como no es positivo, no existe $n$ que satisfaga esto.
1  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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