OMEO 2018 N1 P2

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MateoCV

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OMEO 2018 N1 P2

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 29 Jun, 2020 10:50 pm

Decimos que un número natural es representable si es igual a la suma de varios (por lo menos $2$) números naturales consecutivos. Por ejemplo, $57$ es representable porque $57=7+8+9+10+11+12$. Decidir si cada uno de los números $2016, 2017, 2018, 2032, 2048$ es representable o no.

Nota: El $0$ no es un número natural
$2^{82589933}-1$ es primo

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Dauphineg

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Re: OMEO 2018 N1 P2

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 04 Jul, 2020 3:05 pm

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Un número $n$ es representable entonces si existen números naturales $t$ y $k$ tal que $\sum_{i=0}^{i=k}\left ( t+i \right )=n$ o equivalentemente
$\sum_{i=0}^{i=k}t+ \sum_{i=0}^{i=k}i =n \Leftrightarrow \left ( k+1 \right ).t+\left ( k+1 \right ).\frac{k}{2}=n\Leftrightarrow \left ( k+1 \right ).\left ( t+ \frac{k}{2}\right )=n\Leftrightarrow \left ( k+1 \right )\left ( 2t+k \right )=2n$ $(*)$
Sea $n$ es potencia de $2$, supongamos que es representable, como $2n$ seria también potencia de $2$ los números $k+1$ y $2t+k$ serán potencias de $2$ y distintas de $1$ ya que los números $t$ y $k$ son naturales, pero entonces los números $k+1$ y $2t+k$ son ambos pares y por lo tanto su resta también será par, pero vemos que la resta de ambos es $2t-1$ que es un número impar siempre, esta contradicción nos confirma que ninguna potencia de $2$ es un número representable
Supongamos ahora que $n$ no es una potencia de $2$ entonces $n=2^{a}.b$ donde $a\geq 0$ y $b\geq 3$ son enteros con $b$ impar
i) Si $b\geq 2^{a+1}+1\Rightarrow \frac{b-1}{2}\geq 2^a \Rightarrow \frac{b-1}{2}-2^a+1 \geq 1 $ y también $2^{a+1}-1\geq 1$ asi que podemos tomar
$t= \frac{b-1}{2}-2^a+1$ , $ k=2^{a+1}-1$ y al ser reemplazados en $(*)$ vemos que la igualdad se cumple.
ii) Si $b < 2^{a+1}+1\Rightarrow \frac{b-1}{2}< 2^a \Rightarrow 1 \leq 2^a- \frac{b-1}{2} $ y también $b-1\geq 1$ asi que podemos tomar
$t= 2^a- \frac{b-1}{2}$ , $ k=b-1$ y al ser reemplazados en $(*)$ vemos que la igualdad se cumple.
Por lo tanto los únicos números naturales que son representables son los que no son potencias de $2$, así que para este problema la respuesta seria que todos excepto $2048=2^{11}$ son números representables

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