Provincial 2005 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Sergiohuang2004

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Provincial 2005 N2 P1

Mensaje sin leer por Sergiohuang2004 »

Pablo y Fernando tienen cada uno una cantidad entera de pesos.
Pablo le dice a Fernando: "Si me das $\$3$ la cantidad de dinero que yo tenga será $x$ veces la cantidad de dinero que vos tengas".
Fernando le dice a Pablo: "Si me das $\$x$ la cantidad de dinero que yo tenga será $3$ veces la cantidad de dinero que vos tengas".
Si $x$ es un entero, dar los posibles valores de $x$ y de las cantidades de dinero que tienen Pablo y Fernando.
Última edición por Sergiohuang2004 el Jue 31 Dic, 2020 2:07 pm, editado 1 vez en total.
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2005 N2 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

El signo \$ se usa para arrancar el código en $\LaTeX$, para que eso no pase tenés que poner \\$ (lo mismo si querés usarlo adentro del código).
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Sergiohuang2004

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Re: Provincial 2005 N2 P1

Mensaje sin leer por Sergiohuang2004 »

Gianni De Rico escribió: Jue 31 Dic, 2020 1:51 pm El signo \$ se usa para arrancar el código en $\LaTeX$, para que eso no pase tenés que poner \\$ (lo mismo si querés usarlo adentro del código).
Ahí ya lo corregí,gracias :)
abcd

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Re: Provincial 2005 N2 P1

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Podemos escribir el problema como un sistema de ecuaciones:
$$f+3=px, p+x=2f$$ donde $x$ es un entero positivo, $p$ es la cantidad de dinero que tiene Pablo y $f$ es la cantidad de dinero que tiene Fernando.
$f+3=px\Rightarrow 2px-6 = 2f$, como $p+x=2f$ obtenemos que:
$2px-6 = p+x$.
$4px-2p-2x = 12$
$(2p-1)(2x-1) = 13$
$(2p-1)$ puede ser igual $-13,-1,1,13$
$(p,x)$ es $(7,1)(1,7) (0, -6) (-6,0)$
Pero como $f$ y $p$ tienen que ser positivos tenemos que solo funcionan las siguentes soluciones $(1,7)$ y $(7,1)$. Si resolvemos el sistema de ecuaciones obtenemos que $f =\frac{p^2 + 3}{2 p - 1}$ y $x =\frac{p + 6}{2 p - 1}$. Remplazando $p$ por $1$ y $7$ obtenemos las siguente soluciones $(p,x,f)$, $(1,7,4)$ y $(7,1,4)$
Otra solucion:
Spoiler: mostrar
De las dos ecuaciones obtenemos que $x =\frac{p + 6}{2 p - 1}$. Usando el hecho de que $x$ es un número entero, obtenemos $2p-1 = (p + 6)a$, donde $a$ es un entero positivo. $2p-1 = (p + 6)a$ se puede reescribir como $(2 - a) p = 6 a + 1$.
Como $2-a$ es un entero positivo (porque $a$ es un entero positivo), $a$ solo puede ser $1$. Dando las siguiente soluciónes $p = 7$ y $p = 1$.
Si resolvemos el sistema de ecuaciones obtenemos que $f =\frac{p^2 + 3}{2 p - 1}$ y $x =\frac{p + 6}{2 p - 1}$. Remplazando $p$ por $1$ y $7$ obtenemos las siguente soluciones $(p,x,f)$, $(1,7,4)$ y $(7,1,4)$
Última edición por abcd el Jue 31 Dic, 2020 6:16 pm, editado 2 veces en total.
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2005 N2 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

abcd escribió: Jue 31 Dic, 2020 5:08 pm
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Podemos escribir el problema como un sistema de ecuaciones:
$$f+3=px, p+x=2f$$ donde $x$ es un entero positivo, $p$ es la cantidad de dinero que tiene Pablo y $f$ es la cantidad de dinero que tiene Fernando.
No debería ser
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$p+3=(f-3)x$

$f+x=3(p-x)$
?
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abcd

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Re: Provincial 2005 N2 P1

Mensaje sin leer por abcd »

Gianni De Rico escribió: Jue 31 Dic, 2020 6:09 pm
abcd escribió: Jue 31 Dic, 2020 5:08 pm
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Podemos escribir el problema como un sistema de ecuaciones:
$$f+3=px, p+x=2f$$ donde $x$ es un entero positivo, $p$ es la cantidad de dinero que tiene Pablo y $f$ es la cantidad de dinero que tiene Fernando.
No debería ser
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$p+3=(f-3)x$

$f+x=3(p-x)$
?
Puede ser, depende de como interpretas el problema. Igual, tu interpretacion me parece mejor.
abcd

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Re: Provincial 2005 N2 P1

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El problema equivale a resolver el siguente sistema de ecuaciones $$p+3=(f-3)x, f+x=3(p-x)$$
$p+3=(f−3)x \Rightarrow p + 3 = f x - 3 x\Rightarrow f + 4 x + 9 = 3f x - 9 x\Rightarrow x=\frac{f + 9}{3 f - 13}$
Usando el hecho de que $x$ es un número entero, obtenemos $(3 f - 13)x=(f + 9)$, donde $a$ es un entero positivo. Notemos que si $p<5$, $a$ no va a ser positivo por lo cual $p>5$. Ademas notemos que si $p>11$, $(3 f - 13)$ siempre va a ser mas grande que $(f + 9)$, por lo que $x$ no podria ser un entero positivo.
Probando con $p=5,6,7,8,9,10,11$ obtenemos los siguentes soluciones $(f = 5, p = 11, x = 7)$, $(f = 6, p = 6, x = 3)$,$(f = 7, p = 5, x = 2)$ y $(f = 11, p = 5, x = 1)$
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2005 N2 P1

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Otra forma de terminarlo
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Como dijeron arriba, $x(3f-13)=f+9$, entonces $3f-13\mid f+9$, así que $3f-13\mid 3(f+9)-(3f-13)$, por lo que $3f-13\mid 40$. Como $3f-13$ es positivo porque $f+9$ y $x$ lo son, solamente puede ser alguno de los $8$ divisores positivos de $40$ ($1,2,4,5,8,10,20,40$), además, no puede ser $1,4,10,40$ ya que en esos casos $f$ no es entero (para los que lo conozcan, hay que mirar módulo $3$). Los casos restantes son solución (ver el mensaje de arriba).
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Provincial 2005 Nivel 2 Problema 1

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Pablo y Fernando tienen cada uno una cantidad entera de pesos.
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Fernando le dice a Pablo: "Si me das $\$x$ la cantidad de dinero que yo tenga será $3$ veces la cantidad de dinero que vos tengas".
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Re: Provincial 2005 Nivel 2 Problema 1

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Las ecuaciones que nos da el enunciado son:
$(F-3).x = P+3$
$(P-x).3 = F + x$

Donde $F, P$ son Fernando y Pablo respectivamente.

Si de la primera ecuación despejamos $P$ y lo reemplazamos en la segunda ecuación nos queda:
1) $$Fx - 3x - 3 = P$$
2) $$3P = F + 4x$$
$$3(Fx - 3x - 3) = F + 4x$$
$$3Fx - F = 13x + 9$$
$$F = \frac{13x + 9}{3x - 1}$$

Por conveniencia vamos a multiplicar por 3 y luego aplicar propiedades de divisibilidad:

$$3F = \frac{39x + 27}{3x-1}$$
$$3x-1 | 39x + 27$$
$$3x-1 | 40$$

Luego concluimos que $3x-1$ toma los valores de algunos de los divisores positivos de 40. Los cuales son: $2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$
Si resolvemos las ecuaciones $3x - 1 = d$ (siendo $d$ los divisores) obtenemos: $x = \{1, 2, 3, 7\}$

Recordando que $F = \frac{13x+9}{3x-1}$ obtenemos los respectivos valores de $F$. $F = \{11, 7, 6, 5\}$.

Por ultimo nos queda encontrar los respectivos valores de $P$ reemplazando en alguna de las ecuaciones: $P = \{5, 5, 6, 11\}$

Pueden hacer la comprobación de que todos los valores funcionan si desean.
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