Problema 2 Nivel 2 Mayo 2020

[Turko Arias]

a) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $2^a+2^b+2^c$ es un cuadrado perfecto.
b) Determinar si existen enteros positivos $a, b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

[joa.fernandez]

a)

Spoiler: mostrar

$a=672$, $b=c=674~~ \Rightarrow a+b+c=2020$ y $2^a +2^b +2^c= 2^{672}+2^{674}+2^{674}=2^{672}(1+4+4)=3^22^{672}$

b)

Spoiler: mostrar

Si los $3$ números son impares, la suma es impar; absurdo.
Si $2$ de los números son impares, tenemos que $$3^a+3^b+3^c \equiv (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c \equiv (-1)+(-1)+(1) \equiv -1 \pmod{4}$$Pero, $-1$ no es resto cuadrático módulo $4$. Absurdo.
Si uno de los números es impar, la suma es impar; absurdo.
Si todos son pares, sabemos que $$3^a+3^b+3^c \equiv (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c \equiv 1+1+1 \equiv 3 \pmod{4}$$, y por el mismo argumento de antes, llegamos a un absurdo.
Se sigue que no existen tales $a$, $b$, $c$.