Problema 2 Nivel 2 Mayo 2020

[Turko Arias]

a) Determinar si existen enteros positivos $a$, $b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $2^a+2^b+2^c$ es un cuadrado perfecto.
b) Determinar si existen enteros positivos $a$, $b$ y $c$, no necesariamente distintos, tales que
$a+b+c=2020$ y $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

[joa.fernandez]

a)

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$a=672$, $b=c=674~~ \Rightarrow a+b+c=2020$ y $2^a +2^b +2^c= 2^{672}+2^{674}+2^{674}=2^{672}(1+4+4)=3^22^{672}$

b)

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Si los $3$ números son impares, la suma es impar; absurdo.
Si $2$ de los números son impares, tenemos que $$3^a+3^b+3^c \equiv (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c \equiv (-1)+(-1)+(1) \equiv -1 \pmod{4}$$Pero, $-1$ no es resto cuadrático módulo $4$. Absurdo.
Si uno de los números es impar, la suma es impar; absurdo.
Si todos son pares, sabemos que $$3^a+3^b+3^c \equiv (-1)^a+(-1)^b+(-1)^c \equiv 1+1+1 \equiv 3 \pmod{4}$$, y por el mismo argumento de antes, llegamos a un absurdo.
Se sigue que no existen tales $a$, $b$, $c$.

[Noslen]

Variante para

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la existencia

del a).

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Pensemos que $2^a+2^b+2^c$ sea el cuadrado de un binomio de la forma $x^2+2\cdot x\cdot y+y^2=(x+y)^2$. Entonces, si llamamos $x=2^{a/2}$ e $x=2^{c/2}$, e igualando las siguientes expresiones
$$ 2^a+2^b+2^c = (2^{a/2})^2+ 2\cdot 2^{a/2} \cdot 2^{c/2}+(2^{c/2})^2=(2^{a/2}+2^{c/2})^2$$
obtenemos la condición de que $b=\frac{a+c}{2}+1$. Luego, como $a+b+c=2020$ podemos lograr reducir a la ecuación $a+c=1346$ donce vamos a pedir además que $a$ y $c$ números enteros positivos y pares (para que cumpla que $2^{a/2}+2^{c/2}$ sea entero). Por ejemplo, tomando $a=2$ y $c=1344$ coincide con el valor de $b=674$ (como @joa.fernandez) y verifica que
$$ 2^2+2^{674}+2^{1344} =(2+2^{672})^2.$$