Sucesión contiene a todos los múltiplos de 3 exactamente una vez

[BrunZo]

Consideremos una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3,\dots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones:

• $a_n\leq 3n$, para todo entero positivo $n$.
• $v_2\,(a_m+a_n)=v_2\,(m+n)$ para cualesquiera $m$ y $n$ enteros positivos.

Probar que todo múltiplo de $3$ aparece exactamente una vez en la sucesión.

Nota: $v_2\,(x)$ denota al exponente de la mayor potencia de $2$ que divide a $x$.