Olimpíada de Mayo 2021 N2 P2

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Gianni De Rico

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Olimpíada de Mayo 2021 N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $N$ un entero positivo. Un divisor de $N$ es propio si es mayor que $1$ y menor que $N$. Por ejemplo, $2$, $3$, $6$ y $9$ son todos los divisores propios de $18$.
Un entero positivo es especial si tiene al menos dos divisores propios y es múltiplo de todas las posibles diferencias entre dos de ellos. Determinar todos los enteros positivos que son especiales.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Uriel J

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Re: Olimpíada de Mayo 2021 N2 P2

Mensaje sin leer por Uriel J »

Solución:
Spoiler: mostrar
El menor número positivo que tiene 2 divisores propios es $2 . 3 = 6$
Veamos que un número especial no puede ser impar. Pues si lo es, existen dos divisores propios, $a_i$ y $a_j$ que son impares y además $a_i - a_j \mid N$
Pero $a_i - a_j$ es par y $N$ es impar por ende llegamos a un absurdo y $N$ no puede ser impar

Caso $N = 2m$ con $m$ entero positivo
$m - 2 \mid 2m$ $ \Rightarrow $ $m - 2 \mid m + 2$ $ \Rightarrow $ $m - 2 \mid 4$
$m - 2 \mid 4$
$m - 2 \geq 1$ y los posibles valores de $m - 2$ son $1,2$ y $4$
$m - 2 = 1$ $ \Rightarrow $ $m = 3$ $ \Rightarrow $ $N = 2m = 6$
$m - 2 = 2$ $ \Rightarrow $ $m = 4$ $ \Rightarrow $ $N = 2m = 8$
$m - 2 = 4$ $ \Rightarrow $ $m = 6$ $ \Rightarrow $ $N = 2m = 12$

Los enteros positivos que son especiales son $6,8$ y $12$
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