IMO 2021 - Problema 1

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Sandy

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IMO 2021 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy »

Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n,n+1,\ldots ,2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.
Fallo inapelable.

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Sandy

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Re: IMO 2021 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy »

Pista:
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¿Qué sería lo ideal que rompería el problema? ¿Qué pasa con dos números que suman a un cuadrado? ¿Y con tres?
Pista más fuerte:
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¿Podremos siempre encontrar $3$ naipes que cada par sume un cuadrado?
Solución:
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Veremos que existen $3$ naipes distintos en la baraja cuyos números suman, dos a dos, tres cuadrados distintos. Así, no podremos ponerlos a todos en distintas pilas.

Si $n=100$, los números $126, 163, 198$ cumplen, ya que $126+163=17^2$,$\;$ $126+198=18^2$ y $163+198=19^2$.

Si $n>100$, sea $a\in \mathbb{Z}^+$ tal que $a^2<n\leq (a+1)^2$. Como $n>100$, tenemos que $100<(a+1)^2\Longrightarrow a>9 \Longrightarrow a\geq 10$.
Luego es fácilmente verificable que $n\leq (a+1)^2\leq 2a^2-8a+6<2a^2-4a+3<2a^2-2\leq 2a^2<2n$.
Esto implica que hay naipes distintos con los números $2a^2-8a+6,\; 2a^2-4a+3,\; 2a^2-2$ respectivamente. Pero además:
$(2a^2-8a+6)+(2a^2-4a+3)=(2a-3)^2,\; (2a^2-8a+6)+(2a^2-2)=(2a-2)^2,\; (2a^2-4a+3)+(2a^2-2)=(2a-1)^2$
Lo que demuestra el problema
Comentario:
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Por más de que parezcan salidas de la galera las expresiones en función de $a$, una manera de verlas es notar que una suma de dos naipes será siempre menor que $4n$, por lo que tiene sentido ver qué pasa con el cuadrado anterior a $4n$. Si tenemos $b^2<4n\leq (b+1)^2$ e intentamos buscar las soluciones a $x+y=(b-1)^2$, $x+z=(b-2)^2$, $y+z=(b-3)^2$ (o cambiando $b-3$ por $b$), necesitamos una condición extra sobre la paridad de $b$, por lo que termina conviniendo mirar el cuadrado par anterior a $4n$, es decir $(2a)^2<4n\leq (2a+2)^2$, que se transforma en $a^2<n\leq (a+1)^2$. Y ahí las expresiones en función de $a$ son las soluciones del sistema $x+y=(2a-1)^2$, $x+z=(2a-2)^2$, $y+z=(2a-3)^2$. El chequeo de que queden entre $n$ y $2n$ da bien para $a\geq \sqrt{20}+5<10$ si no me equivoco, lo que obliga a ver aparte el caso $n=100$.
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Fallo inapelable.

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