Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n,n+1,\ldots ,2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.
Veremos que existen $3$ naipes distintos en la baraja cuyos números suman, dos a dos, tres cuadrados distintos. Así, no podremos ponerlos a todos en distintas pilas.
Si $n=100$, los números $126, 163, 198$ cumplen, ya que $126+163=17^2$,$\;$ $126+198=18^2$ y $163+198=19^2$.
Si $n>100$, sea $a\in \mathbb{Z}^+$ tal que $a^2<n\leq (a+1)^2$. Como $n>100$, tenemos que $100<(a+1)^2\Longrightarrow a>9 \Longrightarrow a\geq 10$.
Luego es fácilmente verificable que $n\leq (a+1)^2\leq 2a^2-8a+6<2a^2-4a+3<2a^2-2\leq 2a^2<2n$.
Esto implica que hay naipes distintos con los números $2a^2-8a+6,\; 2a^2-4a+3,\; 2a^2-2$ respectivamente. Pero además:
$(2a^2-8a+6)+(2a^2-4a+3)=(2a-3)^2,\; (2a^2-8a+6)+(2a^2-2)=(2a-2)^2,\; (2a^2-4a+3)+(2a^2-2)=(2a-1)^2$
Lo que demuestra el problema
Por más de que parezcan salidas de la galera las expresiones en función de $a$, una manera de verlas es notar que una suma de dos naipes será siempre menor que $4n$, por lo que tiene sentido ver qué pasa con el cuadrado anterior a $4n$. Si tenemos $b^2<4n\leq (b+1)^2$ e intentamos buscar las soluciones a $x+y=(b-1)^2$, $x+z=(b-2)^2$, $y+z=(b-3)^2$ (o cambiando $b-3$ por $b$), necesitamos una condición extra sobre la paridad de $b$, por lo que termina conviniendo mirar el cuadrado par anterior a $4n$, es decir $(2a)^2<4n\leq (2a+2)^2$, que se transforma en $a^2<n\leq (a+1)^2$. Y ahí las expresiones en función de $a$ son las soluciones del sistema $x+y=(2a-1)^2$, $x+z=(2a-2)^2$, $y+z=(2a-3)^2$. El chequeo de que queden entre $n$ y $2n$ da bien para $a\geq \sqrt{20}+5<10$ si no me equivoco, lo que obliga a ver aparte el caso $n=100$.