Liliana eligió algunos números distintos del conjunto $\{1, 2, 3,\dots, 13, 14\}$ y notó que su producto es igual a la suma de los números que no eligió. Encuentre la suma del mayor y el menor valor que puede tomar el producto de los números que eligió Liliana.
La suma de los $14$ números del conjunto es $105$
Sea $K$ el producto de los números que escogió Liliana
Si Liliana hubiera escogido $5$ números, $1*2*3*4*5=120>105$, entonces Liliana escogió menos de 5 números
$K=ab$ con $a$ y $b$ números del conjunto
$ab=105-a-b$
$(a+1)(b+1)=106=2*53 \implies a=1$ y $b=52$, $52$ no está en el conjunto, entonces Liliana no escogió dos numeros
$K=abc$
Sea $a=1$
$bc=104-b-c$
$(b+1)(c+1)=105=3*5*7=15*7 \implies b=14$ y $c=6$ que si están en el conjunto, luego $K=1*14*6=84$
Sean $a, b$ y $c$ distintos de $1$
$a*b*c=105-a-b-c$, por paridad $K$ es múltiplo de $4$
$K=abcd$
$2*3*4*5=120>105$, entonces uno de los números escogidos es $1$
Sea $a=1$, entonces $bcd=104-b-c-d$
Si $b, c$ y $d$ fueran impares y los menores posibles $3*5*7=105$, entonces $K$ es múltiplo de $2$
Ahora tratemos de reducir los valores que puede tomar $K$
Si $K=abc$ con $a, b$ y $c$ los menores posibles
$K=105-2-3-4=96$, que claramente no cumple
Si $K=abc$ con $a, b$ y $c$ los mayores posibles
Si dos de los números son de dos cifras $10*11=110>105$
Si uno de los números es de dos cifras
$10*6*2=120>105$, entonces escojamos los mayores (creo que se podría restringir más, pero bueno)
$K=105-14-5-4=82$, no es el único ordenamiento que nos da $82$
Luego, $80<K<96$
Ahora si empecemos con la talacha
$82=2*41$ no
$86=2*43$ no
$88=2*4*11 \implies 88=105-2-4-11$ si
$90=2*5*9 \implies 90\neq105-2-5-9=89$ (sospechoso)
$90=3*5*6\implies90\neq105-3-5-6=91$ (este número cumplirá cuando Liliana escoja cuatro números)
$90=1*3*5*6 \implies 90=105-1-3-5-6=90$ si
$92=2*46=2*2*23$ no
$94=2*47$ no
Finalmente, nos piden la suma del mayor y del menor $K$
$84+90=174$
