Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,\ldots,2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.
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Más que los conjuntos, vamos a ver que si $S_A=3\times 43\times 47\times 81$ y $S_B=3\times 43\times 47\times 256$ anda. Primero, $S_A+S_B=3\times 43\times 47\times (81+256)=2021\times 3\times 337=\frac{2021\times 2022}{2}$. Segundo, $S_A\times S_B=3\times 43\times 47\times 81\times 3\times 43\times 47\times 256=(3\times 43\times 47\times 9\times 16)^2$.
Encontrar un conjunto con suma $S_A$ no es complicado... una posibilidad puede ser $\{1,2,...,3\times 81\}\cup\{2021-3\times 81, ..., 2020\}$ pero hay un montón y no es lo difícil.
Notemos que lo que buscamos es que $S_A\left(\frac{2021\times 2022}{2}-S_A\right)=j^2$, que es equivalente a que $S_A\times 3\times 43\times 47\times 337=S_A^2+j^2$, luego tanto $3$, como $43$, como $47$ deben dividir a $S_A$ como a $j$ por ser $3 mod 4$ y dividir a la suma de sus cuadrados. Sean $S_A=m\times 3\times 43\times 47$ y $j=n\times 3\times 43\times 47$, luego $337m=m^2+n^2$, y por lo tanto el discriminante, $337^2-4n^2$ debe ser un cuadrado. Sea $337^2=4n^2+k^2$, por la forma de las ternas pitagóricas, debe ser primitiva pues $337$ es primo y si divide a $k$ divide a $n$, quedando el lado derecho mayor al izquierdo. Luego buscamos $u,v$ tales que $u^2+v^2=337$, y se puede verificar que los únicos posibles son $9$ y $16$. Nos quedan entonces definidos $n$ como $9\times 16$, $m$ en función de $n$ (los dos posibles valores se corresponden a intercambiar $S_A$ con $S_B$) y así tenemos $S_A$ en función de $m$.
