Nacional 2021 N2 P5

[EmRuzak]

Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que $n\cdot 2^{n-1}+1$ es un cuadrado perfecto.

[EmRuzak]

Es el mismo que: https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=18&t=7147

[Lean]

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$n.2^{n-1}+1=x^2$

$n.2^{n-1}=(y+1)(y-1)$

Sea $d$ tal que $d$ divide a tanto $y-1$ como $y+1$.
Entonces $d|y+1-(y-1)=2$.

De donde $2n$ divide a $(y-1)$ o $(y+1)$.

$y-1=2n$.
$y+1=2^{n-2}$

Solo funciona si $n\geq 5$, donde queda ver posibilidades. No hay solucion.

$y+1=2n$
$y-1=2^{n-2}$

Solo funciona si $n\geq 5$ y solo para $n=5$ hay solucion.

[drynshock]

Creo que llegue a una respuesta que esta buenísima:

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$n.2^{n-1} + 1 = a^2$

Veamos que la parte es impar ya que $2^{n-1}$ es par para todo n entero positivo y el +1 hace la cuenta impar. Por lo tanto $a^2$ es impar lo cual implica que a también sea impar.
Digamos que $a=2k+1$

$n.2^{n-1} + 1 = (2k+1)^2$
$n.2^{n-1} + 1 = 4k^2 + 4k +1$
$n.2^{n-1} = 4k^2 + 4k $
$n.2^{n-3} = k^2 + k $
$n.2^{n-3} = k(k+1) $

Es fácil ver que si n = 1, 2, 3, 4 no hay solución, por lo tanto $2^{n-3}$ sigue siendo par. También tenemos $k(k+1)$ que si lo pensamos, nos damos cuenta que es un par multiplicado por un impar. Con esto concluimos que:

$k = n$ ; $k+1 = 2^{n-3}$

o sino:

$k + 1 = n$ ; $k = 2^{n-3}$

Despejando los dos sistemas de ecuaciones de arriba llegamos a estas dos ecuaciones independientes:
$n+1 = 2^{n-3}$
$n-1 = 2^{n-3}$

Como es una lineal y una exponencial podemos asegurar que existen como máximo 4 soluciones en total, sin embargo solo podemos considerar la solución que sea entera y positiva. Si hacemos el grafico de $n-1 = 2^{n-3}$ vemos que la única respuesta posible es 5.

Respuesta: n = 5