Nacional 2021 N1 P5

[Gianni De Rico]

Mica escribió una lista de números con el siguiente procedimiento. El primer número es $1$, y luego, en cada paso, escribió el resultado de sumar el número anterior más $3$. Los primeros números de la lista de Mica son $1,4,7,10,13,16,\ldots$
A continuación, Facu subrayó todos los números de la lista de Mica que son mayores que $10$ y menores que $100000$, y que tienen todas sus cifras iguales.
¿Cuáles son los números que subrayó Facu?

[Gianni De Rico]

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Vamos a usar Congruencias.
Mica escribe todos los números que son congruentes a $1$ módulo $3$ mayores que $10$ y menores que $100000$. El criterio de divisibilidad por $3$ nos dice que un número es congruente a la suma de sus cifras módulo $3$.
Los números de dos cifras con todas sus cifras iguales a $n$ son congruentes a $n+n\equiv 2n\pmod 3$, si queremos que $2n\equiv 1\pmod 3$, entonces debe ser $n\equiv 2\pmod 3$. Como además $n$ es un dígito, entonces $n=2$, $n=5$ o $n=8$. Los números de dos cifras que subrayó Facu son $22$, $55$ y $88$.
Los números de tres cifras con todas sus cifras iguales a $n$ son congruentes a $n+n+n\equiv 3n\equiv 0\pmod 3$, así que Facu no subrayó ninguno.
Los números de cuatro cifras con todas sus cifras iguales a $n$ son congruentes a $n+n+n+n\equiv 4n\equiv n\pmod 3$, así que los que subrayó Facu son los que tienen $n\equiv 1\pmod 3$. Como además $n$ es un dígito, entonces $n=1$, $n=4$ o $n=7$. Los números de $4$ cifras que subrayó Facu son $1111$, $4444$ y $7777$.
Los números de cinco cifras con todas sus cifras iguales a $n$ son congruentes a $n+n+n+n+n\equiv 5n\equiv 2n\pmod 3$, si queremos que $2n\equiv 1\pmod 3$, entonces debe ser $n\equiv 2\pmod 3$. Como además $n$ es un dígito, entonces $n=2$, $n=5$ o $n=8$. Los números de cinco cifras que subrayó Facu son $22222$, $55555$ y $88888$.
Los números de más de cinco cifras son mayores o iguales que $100000$, así que no están en la lista de Mica.

En resumen, los números que subrayó Facu son $22$, $55$, $88$, $1111$, $4444$, $7777$, $22222$, $55555$ y $88888$.

Comentario/Solución alternativa

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También podemos hacer esto sin congruencias. Tenemos $9$ números de dos cifras que tienen todas sus cifras iguales, $9$ números de tres cifras que tienen todas sus cifras iguales, $9$ números de cuatro cifras que tienen todas sus cifras iguales y $9$ números de cinco cifras que tienen todas sus cifras iguales. En total, $36$ números.
Si nos damos cuenta que todos los números de la lista de Mica son de la forma "un múltiplo de $3$ más $1$", podemos probar los $36$ números y ver cuáles son de la forma "un múltiplo de $3$ más $1$" (si lo podemos hacer bien rápido, mejor). En este caso también llegamos a la respuesta, los números que subrayó Facu son $22$, $55$, $88$, $1111$, $4444$, $7777$, $22222$, $55555$ y $88888$.

[magnus]

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Vemos que siempre que tenemos un $n$ tenemos que $n+3 \equiv n \mod 3$. Acá $n=1$ entonces al ir sumando de a $3$ como en la lista de Mica van a quedar todos números con el mismo resto que $1$ en la división por $3$, es decir resto $1$. Entonces nos fijamos en el criterio de divisibilidad del $3$, que nos dice que la suma de los dígitos del número tiene el mismo resto que el mismo número en la división por $3$. Entonces queremos que la suma de los dígitos sea un número con resto $1$ en la división por $3$.

Para dos cifras la suma de los dígitos es como mucho $9+9=18$ pero el más grande menor a $18$ con resto $1$ es $16$ entonces la suma es como mucho $16$. Cómo tenemos las dos cifras iguales, llamemosla $a$, la suma de los números de las cifras es $2\times a$ entonces que es par. Y como los números menores a $18$ con resto $1$ que son pares son $16$ , $10$ y $4$ entonces los números de $2$ cifras que vamos a subrayar son $88,55,22$.

No hay números de $3$ cifras en la lista porque ahora al suma se las cifras es $3\times a$ y al haber factor $3$ entonces $3\times a \equiv 0 \mod 3$.

Con cuatro cifras la suma de sus dígitos como mucho es $9+9+9+9 = 36$. Entonces como los únicos números menores a $36$ que son $M_4$ y con resto $1$ en la división por $3$ son $28$ , $16$ y $4$ entonces los números de $4$ cifras posibles que vamos a subrayar son $7777$ , $4444$ y $1111$.
Con cinco cifras la suma de sus dígitos es como mucho $9+9+9+9+9 =45$ entonces hay que encontrar los números con resto $1$ en la división por $3$ y múltiplos de $5$. Cómo esos son $40$ , $25$ y $10$ entonces nuestros últimos tres números subrayados son $88888$ , $55555$ y $22222$. Son los últimos porque el 10000 es el último de la lista y no tiene todos sus dígitos iguales. $Rta = 22,55,88,1111,4444,7777,22222,55555,88888$