ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P1

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Nando

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Mensaje sin leer por Nando »

En un tablero de $4\times 5$, como el que se muestra en la figura, se colocan los números del $1$ al $20$ (un número en cada casilla), en algún orden. Luego, se suman los números de cada una de las $5$ columnas. Si $A$ es la mayor suma y $B$ es la menor suma, determine el menor valor posible de $A + B$.
\begin{array}{ |c|c|c|c|c| }
\hline
& & & & \\
\hline
\\
\hline
\\
\hline
\\
\hline
\end{array}

GQSAMAEL
Mensajes: 22
Registrado: Sab 13 Jun, 2015 11:01 pm

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P1

Mensaje sin leer por GQSAMAEL »

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Después de colocar los $20$ números en tablero, digamos que las sumas de las columnas, ordenadas de mayor a menor, son $A,X,Y,Z,B$. Como la suma de los números del $1$ al $20$ es $\dfrac{20\cdot 21}{2}=210$ entonces $A+X+Y+Z+B=210$ y como $A\geq X,A\geq Y,A\geq Z$ se deduce que$$A+A+A+A+B\geq 210$$$$4A+B\geq 210.$$Por otro lado, $B$ es la suma de $4$ enteros positivos distintos y por lo tanto $B\geq 1+2+3+4=10$. Luego$$4A+4B\geq 210+3B\geq 240$$$$A+B\geq 60.$$Y ahora solo falta encontrar una forma de colocar los números en el tablero de modo que $A+B=60$ para afirmar que $60$ es el menor valor posible de $60$. Primero podemos notar que en caso $A+B=60$ se deberá cumplir necesariamente que $B=10$ y $A=50$ y se tendría que $X+Y+Z=150$ y como $X,Y,Z$ no son mayores que $A=50$ entonces deben ser iguales a $50$, es decir $X=50$, $Y=50$, $Z=50$. Está claro que para conseguir que $B=10$ en una columna escribiremos los números $1,2,3,4$ y veamos como llenar las otras columnas. Los números restantes$$5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$$los podemos agrupar en pares que sumen $25$$$(5,20),(6,19),(7,18),(8,17),(9,16),(10,15),(11,14),(12,13).$$Finalmente en cada una de las $4$ columnas faltantes colocamos $2$ pares que suman $25$ en cada una de ellas y así conseguimos que la suma de cada una de esas $4$ columnas sea $50$.\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
5 & 7 & 9 & 11 &1 \\ \hline
20 &18 & 16 & 14 &2 \\ \hline
6 & 8 & 10 & 12 & 3 \\ \hline
19 & 17 & 15 & 13 &4 \\ \hline
\end{array}Y con esto concluimos que el mínimo valor posible de $A+B$ es $60$.

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