ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P2

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Nando

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ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P2

Mensaje sin leer por Nando »

Los números del $1$ al $25$ van a ser distribuidos en un tablero de $5 \times 5$ (un número en cada casilla). Primero, Ana elige $k$ de esos números y los ubica en algunas casillas de su elección. Luego, Enrique ubica los números restantes con el objetivo de que el producto de los números de alguna fila o columna sea igual a un cuadrado perfecto.

a) Muestre que si $k = 5$, entonces Ana puede asegurar que Enrique no logre su objetivo.
b) Muestre que si $k = 4$, entonces Ana no puede evitar que Enrique logre su objetivo.
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Nando

OFO - Mención-OFO 2019
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Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P2

Mensaje sin leer por Nando »

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Última edición por Nando el Jue 18 Nov, 2021 10:06 pm, editado 2 veces en total.
GQSAMAEL
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Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P2

Mensaje sin leer por GQSAMAEL »

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  1. Veamos un ejemplo en el que Ana puede asegurarse que Enrique no gane. Ella coloca los números $11, 13, 17, 19, 22$ como sigue
    \begin{array}{ |c|c|c|c|c| }
    \hline
    & & & & 22 \\
    \hline
    & & & 19& \\
    \hline
    & & 17 & & \\
    \hline
    & 13 & & & \\
    \hline
    11 & & & & \\
    \hline
    \end{array}
    De modo que cada columna y fila tiene un número escrito. Luego, Enrique colocará los números restantes como le parezca mejor. Y como él no puede colocar un múltiplo de $11, 13, 17$ y $19$ distinto a los que escribió Ana, le será imposible conseguir una columna o una fila con el producto de sus números igual a un cuadrado perfecto.
  2. Veamos que sin importar los cuatro números que escriba Ana, Enrique siempre podrá conseguir su objetivo. Su estrategia es sencilla, como Ana no puede colocar un número en cada columna, pues hay $5$ de ellas, quedará siempre una columna vacía en la que escribirá sus números apropiadamente. Entre los cinco cuadrados perfectos $1, 4, 9, 16, 25$ habrá al menos uno que no escribió Ana, digamos que es $k^2$ y lo escribimos en la columna vacía, agrupemos los $4$ restantes en dos pares: $(a^2, b^2)$ y $(c^2, d^2)$. Por otro lado podemos conseguir $4$ pares de números que no son cuadrados perfectos cuyo producto es un cuadrado perfecto, a saber $(2, 8)$, $(3, 12)$, $(5, 20)$ y $(6, 24)$. De modo que tenemos $6$ pares de números cuyo producto es un cuadrado y como Ana escribió solo $4$ números habrá al menos $6-4=2$ de pares de números que no escribió ella, esos $4$ números de los $2$ pares los escribimos en la columna de Enrique y consecuentemente esa columna tendrá como producto de sus números a un cuadrado perfecto, logrando así Enrique su objetivo.
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