Selectivo Cono Sur PERÚ 2020 Pregunta 6

GQSAMAEL
Mensajes: 22
Registrado: Sab 13 Jun, 2015 11:01 pm

Selectivo Cono Sur PERÚ 2020 Pregunta 6

Mensaje sin leer por GQSAMAEL »

Sea $a_1, a_2, a_3, ...$ una secuencia de enteros positivos satisfaciendo las siguientes condiciones $$a_1=1,$$ $$a_{n+1}=a_n+a_{\lfloor \sqrt{n}\rfloor} \text{ para todo } n\geq 1$$ Pruebe que para cada entero positivo $k$ existe un término $a_i$ que es divisible por $k$.

Nota: El símbolo $\lfloor x \rfloor$ denota al mayor número entero que es menor o igual a $x$.

El Apache yasabes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 126
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2020 Pregunta 6

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Que raro, porque vi este mismo problema pero de Brasil...
Brazil TST cono 2020 P3
Incluso es la misma prueba y del mismo año, solo cambia el número de problema


Una idea para atacar este problema podría ser:
Spoiler: mostrar
considerar $m = \lfloor{\sqrt{n}}\rfloor \Rightarrow n = m^2 + k, k=\{0; 1; ... ; 2m\}$
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

GQSAMAEL
Mensajes: 22
Registrado: Sab 13 Jun, 2015 11:01 pm

Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2020 Pregunta 6

Mensaje sin leer por GQSAMAEL »

Que tal coincidencia, aunque creo que posiblemente sea porque lo sacaron del banco de problemas de la Cono Sur anterior.

¿Y qué otras ideas se podrían usar para atacar el problema?

El Apache yasabes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 126
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: Selectivo Cono Sur PERÚ 2020 Pregunta 6

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

La verdad no se, el problema no lo he resuelto pero recuerdo un problema bastante parecido que usaba eso, por eso lo tire como una idea.

En el link que puse de AoPS creo que alguna solución había
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Responder