Mayo 2003 N1 P3

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yain.arias

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Mayo 2003 N1 P3

Mensaje sin leer por yain.arias »

Determiná el menor número entero positivo que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y tiene la suma de sus dígitos igual a $56$.
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marcoalonzo

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Re: Mayo 2003 N1 P3

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Sea $N$ el número pedido. Se tiene que $N\equiv 56\pmod{100}, N\equiv 0 \pmod{56}$ y que $N\equiv 56\equiv 2 \pmod9$. Con lo cual $N\equiv 56 \pmod{12600}$, es decir que $N=12600k+56$
Además, el menor número que termina en $56$ y que cumple que la suma de sus cifras es $56$ es el $9999956$, ya que si tuviera a lo sumo seis dígitos la suma de sus cifras sería a lo sumo $9+9+9+9+5+6=47<56$, por lo tanto tiene al menos siete cifras. Si tiene siete cifras y no ocurre que las primeras cinco cifras sean todas iguales a $9$ entonces la suma de sus cifras es a lo sumo $8+9+9+9+9+5+6=55<56$. Entonces el menor número que cumple que la suma sea $56$ y termine en $56$ es $9999956$. Como el $9999956$ no cumple la divisibilidad por $56$, se da que $N>9999956$, donde sustituyendo se obtiene $k\geq 794$, o sea, $N\geq 10004456$. Ya tenemos bajo qué condiciones está $N$, ahora nos falta conseguir que la suma de sus cifras sea $56$.
Como el $56$ del final siempre está, nos podemos centrar en las cifras de adelante para trabajar con números y cuentas más chicas: sea $N=\overline{M56}$, siendo $M$ la otra parte que le falta a $N$ para cumplir el enunciado (que sea divisible por $56$ y que la suma de las cifras sea $56$), es decir que la suma de sus cifras sea $56-5-6=45$. También se tiene que $M>100044$. Para encontrar el menor $N$ hay que buscar el menor $M$, que lo vamos a obtener buscando maneras de sumar $45$, inicialmente con seis números entre $0$ y $9$, (con al menos uno que no sea $0$):
  • Si $M$ empieza con $1$, la única forma de sumar $45$ es con los números $1, 8, 9, 9, 9, 9$, donde al permutar el $8$ y dejando al $1$ fijo vemos que ningún $N$ cumple la divisibilidad por $56$
  • Si $M$ empieza con $2$, las formas de sumar $45$ son con los números $2, 7, 9, 9, 9, 9$ o $2, 8, 8, 9, 9, 9$. En el primer caso si permutamos al $7$ y dejamos el $2$ fijo no existe un $N$ que cumpla la divisibilidad por $56$. En el segundo caso si dejamos fijo el $28$ y permutamos el $8$ restante no hay ningún $N$ que cumpla, entonces dejamos fijo un $29$, algún $8$ en tercera posición (de izquierda a derecha) y permutamos el $8$ restante y vemos que $N=29899856$ cumple.
Finalmente el menor $N$ es $N=29899856$. Nos podemos asegurar de que es el menor por cómo resolvimos el problema y estamos.
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🔮oráculo y magia negra🔮
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