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Matías V5

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Regional 2022 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Hallar todos los pares de enteros $(a,b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, tales que $(2a^2 + b)^3 = b^3a$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y
Santi's AI

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Re: Regional 2022 N3 P2

Mensaje sin leer por Santi's AI »

$(2a^2+b)^3=b^3a$
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$2a^2+b=ba^\frac{1}{3}$

$2a^2+b$ es entero, entonces para que $ba^\frac{1}{3}$ sea entero $a$ debe un cubo perfecto. Entonces escribimos $a$ cómo $k^3$ siendo $k$ un entero.

$2k^6+b=bk$

$2k^6=b(k-1)$

$\frac{2k^6}{k-1}=b$

Edit: Me acabo de dar cuenta que me olvidé de ver el caso en el que $k-1=0$ y no se podría dividir por esa cantidad en este paso. De todas formas no sale ninguna solución pero era necesario aclararlo (en el exámen tampoco lo puse :( ).

$k^5(\frac{2k}{k-1})=b$

$k-1$ es coprimo con $k$, por lo que también lo será con toda potencia suya.
Ahora, para que $k$ sea múltiplo de $k-1$ este último solo puede ser igual a $1$ o $-1$.
Pero para que $2$ sea múltiplo de $k-1$ este último puede ser igual a $1$, $-1$, $2$ o $-2$. Siendo que los posibles valores de $k$ en el primer caso están incluídos en los del segundo caso, lo único que hace falta ver son los valores de $k$ para los que $k-1|2$.

Entonces tenemos:

$k-1=-1$ de donde no sale ninguna solución ya que $a≠0$,
$k-1=1$ de donde sale $a=8$ y $b=128$,
$k-1=-2$ de donde sale $a=-1$ y $b=-1$, y
$k-1=2$ de donde sale $a=27$ y $b=729$

10  
"Me fui al pasto...
aguante el pasto."


- Ale, 2022, en un mensaje por mail
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Fran5

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Re: Regional 2022 N3 P2

Mensaje sin leer por Fran5 »

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Notemos que $b^3$ divide al lado derecho, de donde $b^3$ divide al lado izquierdo. Pero entonces $b$ divide a $2a^2+b$ y vemos que $b$ divide a $2a^2$. Análogamente, vemos que $a$ divide a $b^3$, pero como el lado izquierdo es un cubo perfecto y $b^3$ también lo es, debe ser $a$ un cubo perfecto. Luego $a$ divide a $b$.

Si $a^2=mb$ y $b=ka$ obtenemos que $mk=a$, por lo que $b=mk^2$.

Ahora tenemos $(2a^2+b)^3= ((2m+1)mk^2)^3=(2m+1)^3m^3k^6$ y $b^3a=m^4k^7$

Esto es $(2m+1)^3=mk$.

La única posibilidad es que $m=1$ o $m=-1$ de donde $k=27$ ó $k=1$ respectivamente,

Esto es, $a=27$ y $b=27^2=729$ y $a=b=-1$

---

Si $2a^2=mb$ y $b=ka$ obtenemos que $mk=2a$, por lo que $2b=mk^2$.

Hacemos el mismo truco que antes, añadiendo algunos factores $2$ donde sea conveniente.

Ahora tenemos $16(2a^2+b)^3 = 2(4a^2+2b)^3= 2(m^2k^2+mk^2)^3=2((m+1)mk^2)^3=2(m+1)^3m^3k^6$ y
$16b^3a = (2b)^3(2a)=m^4k^7$

Esto es $2(m+1)^3 = mk$

La única posibilidad es que $m=1$ o $m=-1$ de donde $k=16$ y no hay solución en el otro caso

Esto es, $a=8$ y $b=128$.

PD:
Spoiler: mostrar
Mini demostración de que $a^3 \mid b^3$ si y sólo si $a \mid b$.

Si $a=p$ es primo, es trivial. Si $a=p^e$ es potencia de primo, es similar viendo el exponente de $p$ en la factorización de $b$.

Sea $p^e \mid a$, de modo que $(p^e)^3 = p^{3e} \mid a^3 \mid b^3$, de modo que $p^e \mid b$

Recíprocamente, $b=ka$ implica $b^3 = k^3 a^3$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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