Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 5

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Monazo

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Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Monazo »

Hallar todos los pares de números enteros positivos $x,y$ tales que$$x^3+y^3=4(x^2y+xy^2-5).$$
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
FabriATK

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Re: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por FabriATK »

Solución:
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Observemos que
$x^2y + xy^2 = (x+y)xy$ (sacamos factor común $xy$)

Además:
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3x^2y - 3 xy^2 = (x+y)^3 - 3(x^2y + xy^2) = (x+y)^3 - 3(x+y)xy$

Llevando esto a la ecuación original:
$x^3 + y^3 = 4(x^2y + xy^2 - 5)$
$(x+y)^3 - 3(x+y)xy = 4x^2y + 4xy^2 - 20$
$(x+y)^3 - 3(x+y)xy = 4(x+y)xy - 20$
$(x+y)^3 + 20 = 7(x+y)xy$

y podemos observar que $x+y$ divide al lado derecho, así que también divide al izquierdo.
$x+y \mid (x+y)^3 + 20$
$x + y \mid 20$

Como $x,y \in \mathbb{Z}^+$ esto implica que
$x + y \in (2, 4, 5, 10, 20)$

y probamos los casos:
$x + y = 20$:
Spoiler: mostrar
$(x+y)^3 + 20 = 7(x+y)xy$
$20^3 + 20 = 7\times 20\times xy$
$8020 = 7\times 20\times xy$
pero $7 \nmid 8020 \Rightarrow x+y \neq 20$
$x + y = 10$:
Spoiler: mostrar
$(x+y)^3 + 20 = 7(x+y)xy$
$10^3 + 20 = 7\times 10\times xy$
$1020= 7\times 10\times xy$
pero $7 \nmid 1020\Rightarrow x+y \neq 10$
$x + y = 5$:
Spoiler: mostrar
$(x+y)^3 + 20 = 7(x+y)xy$
$5^3 + 20 = 7\times 5\times xy$
$145= 7\times 5\times xy$
pero $7 \nmid 145 \Rightarrow x+y \neq 5$
$x + y = 4$:
Spoiler: mostrar
$(x+y)^3 + 20 = 7(x+y)xy$
$4^3 + 20 = 7\times 4\times xy$
$\frac{84}{7\times 4} = xy$
$3 = xy$
Que solo se puede conseguir con $x = 3$ y $y = 1$ o viceversa (la ecuación es simétrica con respecto a $x$ e $y$)

Y probando:
$x^3 + y^3 = 4(x^2y + xy^2 - 5)$
$3^3 + 1^3 = 4(3^2\times 1 + 3\times 1^2 - 5)$
$28 = 4(12 - 5)$
$28 = 28$ y cumple.
Es decir, este caso nos deja las soluciones
$x = 3$, $y = 1$
$x = 1$, $y = 3$
$x + y = 2$
Spoiler: mostrar
Solo se puede conseguir con $x = y = 1$

Y probando:
$x^3 + y^3 = 4(x^2y + xy^2 - 5)$
$1^3 + 1^3 = 4(1^2\times 1 + 1\times 1^2 - 5)$
$2 = 4( -3)$ absurdo.
Es decir, este caso no nos deja soluciones.
Respuesta: Los pares $(x, y)$ que cumplen son:
$x = 3$, $y = 1$
$x = 1$, $y = 3$
Última edición por FabriATK el Dom 13 Nov, 2022 8:45 am, editado 1 vez en total.
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Turko Arias

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Re: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Spoiler: mostrar
Notemos que $x^3 \equiv x(4)$ y que $y^3 \equiv y(4)$, luego como el lado derecho es múltiplo de $4$ tenemos $x^3+y^3 \equiv x+y \equiv 0(4)$, de donde $x \equiv -y(4)$, y, entre otras cosas, podemos afirmar que tienen la misma paridad. Supongamos $x,y$ pares. $x=2a$, $y=2b$ con $a$ y $b$ enteros positivos. Nos queda:
$$8a^3+8b^3=4(8a^2b+8ab^2-5)$$
$$2a^3+2b^3=8a^2b+8ab^2-5$$
El lado izquierdo es par, el lado derecho impar, abusrdo. Luego son ambos impares.

Esto combinado con la congruencia obtenida nos permite afirmar que uno tiene resto $1$ y el otro resto $3$ en la división por $4$.
Antes de seguir, notemos que $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Ahora si, sin pérdida de generalidad, por la simetría de la ecuación supongamos $x=4a+1$ e $y=4b+3$ con $a$ y $b$ enteros no negativos.
El lado izquierdo nos queda
$$(4a+4b+4)((4a+1)^2-(4a+1)(4a+3)+(4b+3)^2)=4((4a+1)^2(4b+3)+(4a+1)(4b+3)^2-5)$$
$$(a+b+1)((4a+1)^2-(4a+1)(4a+3)+(4b+3)^2)=(4a+1)^2(4b+3)+(4a+1)(4b+3)^2-5$$
$$(a+b+1)((4a+1)^2-(4a+1)(4a+3)+(4b+3)^2)=(4a+1)(4b+3)(4a+4b+4)-5$$
$$(4a+1)^2-(4a+1)(4a+3)+(4b+3)^2=(4a+1)(4b+3)4-\frac{5}{a+b+1}$$

Pero como todos los términos son enteros, entonces $a+b+1 \mid 5$.

Si $a+b+1=1$, entonces $a=b=0$ y queda $x=1$, $y=3$ que cumple, y por la simetría, $x=3$, $y=1$ también cumple.
Si $a+b+1=5$, entonces $a+b=4$. Esto nos da los cinco pares $(x,y)$ que son $(1,19), (5,15), (9,11), (13,7), (17,3)$ y es fácil verificar reemplazando en la ecuación original que ninguno funciona.

Luego, no hay más casos para analizar y las únicas soluciones son $(x,y)=(1,3)$ y $(x,y)=(3,1)$ $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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