Intercolegial 2023 N2 P2

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Gianni De Rico

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Intercolegial 2023 N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Hallar todos los tríos $(p,q,r)$ de números primos, con $q$ menor que $r$, que satisfacen$$p\cdot (q+r)=215.$$Aclaración. Considerar $p,q,r$ positivos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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drynshock

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Re: Intercolegial 2023 N2 P2

Mensaje sin leer por drynshock »

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Los únicos trios que cumplen son (5;2;41);(43;2;3).

Para empezar 215 = 43*5

Por lo que
p=43 y q+r = 5
Ó
p=5 y q+r = 43

En el primer caso donde q+r=5, los únicos primos que cumplen son 3 y 2 por lo que ya tenemos una respuesta.

En el segundo caso donde q+r=43, los únicos primos que cumplen son 41 y 2. ¿Pero que pasa con los demas primos? Bueno como a excepción del 2 todos los primos son impares es imposible que dos primos sumen 43 el cual es impar. Por lo que las únicas respuestas posibles son

(p,q,r)=(5;2;41);(43;2;3)
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Luis_Math
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Re: Intercolegial 2023 N2 P2

Mensaje sin leer por Luis_Math »

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Sabemos que 215 = 5 x 43, luego tenemos dos casos:
Caso 1: Si "p" es 5 entonces: 5⋅(q+r)=215, simplificando el factor 5 queda que q+r=43
  • Ahora entre "q" y "r" uno de ellos es 2, ya que si q y r ≠ 2, entonces: "q" y "r" son impares, osea que q+r=par (→←)
    Entonces q=2 y r=41, pues q<r.
    Con lo cual en este caso obtenemos la terna (p,q,r) = (5,2,41).
Caso 2: Si "p" es 43 entonces: 43⋅(q+r)=215, simplificando el factor 43 queda que q+r=5
  • De q+r=5, notamos que la única posibilidad es: q=2 y r=3, pues q<r.
    Con lo cual en este caso obtenemos la terna (p,q,r) = (43,2,3)
Por lo tanto todas las ternas (p,q,r) que satisfacen la ecuación p⋅(q+r)=215 son las siguientes: (5,2,41) y (43,2,3).
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magnus

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Re: Intercolegial 2023 N2 P2

Mensaje sin leer por magnus »

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Como la factorización de $215$ en primos es $215= 5\times 43$ entonces si $p=5\Rightarrow q+r=43$ y si $p=43\Rightarrow q+r=5$.

Para $p=5$ y $q+r=43$ nos quedamos con $q+r$. Como $43 \equiv 1 \mod 2$ entonces hay dos opciones : $q \equiv 0 \mod 2$ y $r \equiv 1 \mod 2$ o $q \equiv 1 \mod 2$ y $r \equiv 0 \mod 2$. Como el único primo par es $2$ y $43-2=41$ y $41$ es primo entonces para $p=5$ y $q+r=43$ el trío es $p=5$, $q =41$ y $r=2$ (por $41>2$).

Para $p=43$ y $q+r= 5$ como $43 \equiv 1 \mod 2$ entonces hay dos opciones : $q \equiv 0 \mod 2$ y $r \equiv 1 \mod 2$ o $q \equiv 1 \mod 2$ y $r \equiv 0 \mod 2$. Como el único primo par es el $2$ y $5-2=3$ que es primo y $3>2$ el trío con $p=43$ y $q+r= 5$ es $p=43$,$q=3$ y $r=2$

entonces al final tenemos dos tríos: $p=43$ y $q+r= 5$ es $p=43$,$q=3$, $r=2$ y $p=5$, $q =41$ y $r=2$



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estudiar es temporal, la play es ETERNA
Borisaurus
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Re: Intercolegial 2023 N2 P2

Mensaje sin leer por Borisaurus »

Te olvidaste que q tiene que ser menor que R
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