Intercolegial 2023 N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Intercolegial 2023 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Para un número entero positivo $n$, sean $a=\dfrac{n}{3}$ y $b=3\cdot n$. Hallar la cantidad de enteros $n$ tales que $a$ y $b$ son números enteros de tres dígitos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
German Morato
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Re: Intercolegial 2023 N3 P2

Mensaje sin leer por German Morato »

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Tenemos que a y b son numeros enteros de 3 digitos. Entonces:
A= n/3 y B= 3.n
Como B es un numero entero de 3 digitos vamos a ver los valores que cumplen que 3. n sea un numero de 3 digitos. Esto nos da que "n" puede variar desde 34 a 333, cumpliendo, ya que B= 3.34= 102 y B= 3.333= 999
Ahora que sabemos todos lo numeros que cumplen B, vamos a descartar los "n" que no cumplen A.
Entonces tenemos que A= n/3
Los "n" que cumplen esto son 333 hasta 300 (reduciendolo de 3 cada vez para que sea divisible por 3), dando un total 12 posibilidad.
Entonces la cantidad de "n" que satifacen ambas ecuaciones en simultaneo son 12.
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Kechi

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Re: Intercolegial 2023 N3 P2

Mensaje sin leer por Kechi »

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Como $a$ es entero sabemos que $n=3k$ para algún $k$ entero de tres dígitos, es decir $100\leq k$. Luego como $b$ también tiene $3$ dígitos resulta que $3\cdot3k\leq999$ y al dividir entre $9$ llegamos a $k\leq111$. Como para cada valor de $k$ hay un valor distinto de $n$, y $k$ puede ser cualquier entero entre $100$ y $111$ inclusive concluimos que hay $111-100+1=12$ enteros que cumplen.
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drynshock

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Re: Intercolegial 2023 N3 P2

Mensaje sin leer por drynshock »

Extrañaba estos problemas rápidos, sin tanta vuelta, divertidos... llegas al regional/nacional y es física cuántica

Solución:
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$a = \frac{n}{3}$
$b = 3n$

$3a = n$
$\frac{b}{3} = n$

$\frac{b}{3} = 3a$
$9a = b$

Es fácil ver que el máximo valor que puede tomar $a$ va a ser 111 y el mínimo valor va a ser 100, por lo tanto hay 12 números que cumplen
@Bauti.md ig
Math: Mental Abuse To Human
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