Para un número entero positivo $n$, sean $a=\dfrac{n}{3}$ y $b=3\cdot n$. Hallar la cantidad de enteros $n$ tales que $a$ y $b$ son números enteros de tres dígitos.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Tenemos que a y b son numeros enteros de 3 digitos. Entonces:
A= n/3 y B= 3.n
Como B es un numero entero de 3 digitos vamos a ver los valores que cumplen que 3. n sea un numero de 3 digitos. Esto nos da que "n" puede variar desde 34 a 333, cumpliendo, ya que B= 3.34= 102 y B= 3.333= 999
Ahora que sabemos todos lo numeros que cumplen B, vamos a descartar los "n" que no cumplen A.
Entonces tenemos que A= n/3
Los "n" que cumplen esto son 333 hasta 300 (reduciendolo de 3 cada vez para que sea divisible por 3), dando un total 12 posibilidad.
Entonces la cantidad de "n" que satifacen ambas ecuaciones en simultaneo son 12.
Como $a$ es entero sabemos que $n=3k$ para algún $k$ entero de tres dígitos, es decir $100\leq k$. Luego como $b$ también tiene $3$ dígitos resulta que $3\cdot3k\leq999$ y al dividir entre $9$ llegamos a $k\leq111$. Como para cada valor de $k$ hay un valor distinto de $n$, y $k$ puede ser cualquier entero entre $100$ y $111$ inclusive concluimos que hay $111-100+1=12$ enteros que cumplen.
