Olimpiada de Mayo 2024 N2 P2

[BR1]

Decimos que un entero positivo $n$ es bueno si el resultado de multiplicar los primeros $n$ enteros positivos impares usa solamente los dígitos $1$, $3$, $5$ y $9$. Por ejemplo, $n=3$ es bueno, porque $1\cdot 3\cdot 5=15$, pero $n=4$ no lo es, porque $1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105$. Hallar todos los números buenos.

[Ulis7s]

mepa que los unicos buenos son

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1,2 y 3

si a alguien le dio lo mismo subo mi demostración

[MathIQ]

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Si $n \geq 8$ tenemos que el resultado será múltiplo de $5.15=75$ por tener el producto a $5$ y $15$ como factores. Pero veamos que los múltiplos de $75$ impares (consideramos solo los impares por ser el producto de números impares) terminan en $25$ o $75$, es decir, no cumplen:
Supongamos que para un $k$ se cumple $75k\equiv 75 \pmod{100} \Rightarrow 75.(k+2)\equiv 75k+150\equiv 225\equiv 25 \pmod{100}$
Si para un $k$ se cumple $75k\equiv 25\pmod{100} \Rightarrow 75.(k+2)\equiv 25+150\equiv 75 \pmod{100}$.
Usando como caso base $k =1$ estamos.
Por lo cual $n \leq 7$, donde es fácil comprobar que los únicos que cumplen son $1,2,3$ y $7$.