Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

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Dauphineg

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Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por Dauphineg »

En el triángulo $ABC$, $\widehat{A}=27^\circ$, $\widehat{B}=42^\circ$. Sobre el lado $AB$ se marca el punto $D$ de modo tal que $A\widehat{C}D=69^\circ$ y sobre el lado $AC$ se marca el punto $K$ tal que $DK$ sea paralela a $BC$.
Calcular las medidas de los ángulos $C\widehat{B}K$ y $A\widehat{B}K$.
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3,14

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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por 3,14 »

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Haciendo angulitos, podemos deducir que [math] y que, si [math] es un punto en la prolongación de [math] tal que [math], [math]. Por lo tanto, [math] y [math] son bisectrices exteriores del triángulo [math]. Por lo tanto, [math] es un excentro de [math] y [math] es bisectriz del ángulo [math]. Por lo tanto, [math]
[math]
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Monazo

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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por Monazo »

Otra forma de resolverlo
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Calculamos el ángulo DCB que es igual a 42. Como el ángulo B es también 42, entonces el triángulo DCB es isósceles con DC=DB. Por alternos internos, el ángulo CDK es igual a 42 y despejando, el ángulo CKD=69. Como CKD=KCD=69, entonces el triángulo KDC también es isósceles con DK=DC. Finalmente, DK=DC=DB, por lo tanto D es centro y los lados DK, DC y DB son radios (notar que D es el circuncentro del triángulo KBC). Por ángulo central, CDK=2.CBK y como dijimos que CDK=42 entonces CBK=21 y ABK=21.
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por Peznerd »

3,14 escribió: Lun 30 Ene, 2017 3:54 pm
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Haciendo angulitos, podemos deducir que $\angle CDK=\angle KDA=42°$ y que, si $H$ es un punto en la prolongación de $CB$ tal que $HC<HB$, $\angle HCK=\angle KCD=69°$. Por lo tanto, $CK$ y $DK$ son bisectrices exteriores del triángulo $CDB$. Por lo tanto, $K$ es un excentro de $CDB$ y $BK$ es bisectriz del ángulo $\angle CBD$. Por lo tanto, $\angle CBK=42°/2=21°=\angle ABK$
¿Qué es el excentro?
¿Qué es bisectriz exterior?
Imagino que bisectriz exterior es la bisectriz del ángulo opuesto por el vértice
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por Peznerd »

Monazo escribió: Mar 31 Ene, 2017 8:10 pm Otra forma de resolverlo
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Calculamos el ángulo DCB que es igual a 42. Como el ángulo B es también 42, entonces el triángulo DCB es isósceles con DC=DB. Por alternos internos, el ángulo CDK es igual a 42 y despejando, el ángulo CKD=69. Como CKD=KCD=69, entonces el triángulo KDC también es isósceles con DK=DC. Finalmente, DK=DC=DB, por lo tanto D es centro y los lados DK, DC y DB son radios (notar que D es el circuncentro del triángulo KBC). Por ángulo central, CDK=2.CBK y como dijimos que CDK=42 entonces CBK=21 y ABK=21.
¿Cómo inferiste que $D$ es circuncentro?
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Fran5

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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Mensaje sin leer por Fran5 »

Peznerd escribió: Sab 02 Nov, 2019 9:40 pm
3,14 escribió: Lun 30 Ene, 2017 3:54 pm
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Haciendo angulitos, podemos deducir que $\angle CDK=\angle KDA=42°$ y que, si $H$ es un punto en la prolongación de $CB$ tal que $HC<HB$, $\angle HCK=\angle KCD=69°$. Por lo tanto, $CK$ y $DK$ son bisectrices exteriores del triángulo $CDB$. Por lo tanto, $K$ es un excentro de $CDB$ y $BK$ es bisectriz del ángulo $\angle CBD$. Por lo tanto, $\angle CBK=42°/2=21°=\angle ABK$
¿Qué es el excentro?
¿Qué es bisectriz exterior?
Imagino que bisectriz exterior es la bisectriz del ángulo opuesto por el vértice

Tomate un triangulo $ABC$. La bisectriz exterior del ángulo $A$ es la bisectriz del ángulo adyacente a $\angle BAC$.
En particular es perpendicular a la bisectriz (interior) de $\angle A$

El excentro $I_A$, consecuentemente, es el Punto de intersección de dos bisectrices exteriores. Como está afuera está en el lado opuesto respecto a algún lado de $ABC$.
Por ejemplo, Si lo tomás del otro lado respecto al lado $BC$, $I_A$ es la intersección de las bisectrices exteriores de $B$ y $C$, y también pasa por allí la bisectiz interior de $A$
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

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Duda resuelta. Gracias.
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