Nacional 1995 Nivel 3 (P3)

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Dauphineg

OFO - Medalla de Plata-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber OFO - Medalla de Plata-OFO 2021 OFO - Medalla de Oro-OFO 2022
Mensajes: 235
Registrado: Lun 20 Ene, 2014 1:26 am
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico
Ubicación: La Plata, Prov. de Bs. As.

Nacional 1995 Nivel 3 (P3)

Mensaje sin leer por Dauphineg »

Sea $ABCD$ un paralelogramo y $P$ un punto tal que$$2\angle PDA=\angle ABP$$y$$2\angle PAD=\angle PCD.$$Demostrar que $AB=BP=CP$.
ricarlos
Mensajes: 426
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P3)

Mensaje sin leer por ricarlos »

No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Fedex

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Medalla-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Medalla-FOFO 10 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 269
Registrado: Mar 31 Dic, 2019 2:26 am
Medallas: 11
Nivel: 3
Ubicación: Rosario, Santa Fe
Contactar:

Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P3)

Mensaje sin leer por Fedex »

Spoiler: mostrar
Sea $P’$ sobre el semiplano delimitado por $AD$ que no contiene a $B$ de modo que $P’P \parallel AB \parallel DC$ y $P’P = AB = DC$ luego $DCPP’$ y $P’PBA$ son paralelogramos y $\angle DP’P = \angle DCP = 2\angle DAP$ donde análogamente $\angle PP’A = 2 \angle PDA$.
Notar que:
$$180º = \angle DCB + \angle CBA > \angle DCP + \angle PBA = 2(\angle DAP + \angle PDA) \Rightarrow 90º > \angle DAP + \angle PDA$$
Luego $DPA > 90º$ y $O$, el circuncentro de $\triangle DPA$, está sobre el mismo semiplano que delimita $DA$ respecto a $P’$. Además por ángulo central $O$ y $P’$ subtienden los mismos ángulos con los lados $DP$ y $AP$. Finalmente dos arcos de circunferencia (ya que $P’$ y $O$ también se encuentran sobre los mismos semiplanos que delimitan $DP$ y $PA$) se intersecan en $P$ ,$O$, $P’$ por lo que debe darse que $O = P’$ y al tener dos paralelogramos y un circuncentro los $7$ lados $DC$, $PC$, $P’D$, $P’P$, $P’A$, $PB$, $AB$ son iguales.
1  
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Responder