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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Sea $P’$ sobre el semiplano delimitado por $AD$ que no contiene a $B$ de modo que $P’P \parallel AB \parallel DC$ y $P’P = AB = DC$ luego $DCPP’$ y $P’PBA$ son paralelogramos y $\angle DP’P = \angle DCP = 2\angle DAP$ donde análogamente $\angle PP’A = 2 \angle PDA$.
Notar que:
$$180º = \angle DCB + \angle CBA > \angle DCP + \angle PBA = 2(\angle DAP + \angle PDA) \Rightarrow 90º > \angle DAP + \angle PDA$$
Luego $DPA > 90º$ y $O$, el circuncentro de $\triangle DPA$, está sobre el mismo semiplano que delimita $DA$ respecto a $P’$. Además por ángulo central $O$ y $P’$ subtienden los mismos ángulos con los lados $DP$ y $AP$. Finalmente dos arcos de circunferencia (ya que $P’$ y $O$ también se encuentran sobre los mismos semiplanos que delimitan $DP$ y $PA$) se intersecan en $P$ ,$O$, $P’$ por lo que debe darse que $O = P’$ y al tener dos paralelogramos y un circuncentro los $7$ lados $DC$, $PC$, $P’D$, $P’P$, $P’A$, $PB$, $AB$ son iguales.