Iberoamericana 1985 P1

[joa.fernandez]

Halle todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que:$$\begin{align*}a+b+c & =24 \\
a^2+b^2+c^2 & =210 \\
abc & =440.
\end{align*}$$

[Gianni De Rico]

Solución:

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Es claro que ninguno puede ser $0$.

Vamos primero con la manipulación algebraica$$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-\left (a^2+b^2+c^2\right )}{2}=183$$ahora, como $a+b+c=24$, entonces o bien los $3$ son pares o solamente uno de ellos es par.
Supongamos que los $3$ son pares, entonces $183=ab+bc+ca\equiv 0+0+0\equiv 0\pmod 2$, absurdo, así que exactamente uno de ellos es par.
Supongamos sin pérdida de generalidad que $a$ es par. Como $440=2^3\cdot 5\cdot 11$, tenemos que $a$ es múltiplo de $8$. Supongamos que $|a|>8$, luego, $|a|\geqslant 16$, de donde $a^2\geqslant 16^2=256$, por lo tanto $210=a^2+b^2+c^2\geqslant 256$, absurdo, entonces $|a|=8$, en particular, no es múltiplo de $11$ ni de $5$.
Como $5$ es primo, entonces divide a $b$ o a $c$. Supongamos sin pérdida de generalidad que $5\mid b$, por el mismo motivo que antes, vemos que $11\not \mid b$, así que $11\mid c$. Luego, como $abc=2^3\cdot 5\cdot 11$, tenemos que $a=\pm 8$, $b=\pm 5$ y $c=\pm 11$, pero si alguno es negativo, $a+b+c<24$, entonces todos son positivos, y es claro que verifican las $3$ ecuaciones.

Por lo tanto, las soluciones son $(a,b,c)=(8,5,11)$ y todas sus permutaciones.

[joa.fernandez]

Esto es en compensación de mi fracasado mensaje anterior...

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Primero, es fácil ver que $ab + bc + ca = 183$.
Consideremos el polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$.
Luego:
$p(x) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$
y reemplazando la información que nos dan:
$p(x) = x^3 - 24x^2 +183x -440$.
Esta expresión se factoriza como:
$p(x)= (x-5)(x-8)(x-11)$, por lo que, al ser el mismo polinomio, debe tener las mismas raíces, concluyendo que la terna $(a,b,c)$ es igual a $(5,8,11)$ y todas sus permutaciones.

[Turko Arias]

Problema relacionado subido hace poco al foro: Problema 350 de la Maratón de Problemas